Subgroups — #121441

Order 512.

674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8043	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#7897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#428	—	2	2	no	—
10	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1947	—	2	2	no	—
17	#1852	—	2	2	no	—
18	#1847	—	2	2	no	—
19	#1845	—	2	1	no	—
20	#1845	—	2	1	no	—
21	#1844	—	2	1	no	—
22	#1834	—	2	2	no	—
23	#1834	—	2	2	no	—
24	#1834	—	2	1	no	—
25	C₂×#343	—	2	2	no	—
26	C₂×#340	—	2	2	no	—
27	#1296	—	2	2	no	—
28	#1279	—	2	2	no	—
29	#1278	C₄	1	4	yes	complemented
30	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
31	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
33	C₂×#117	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	—	2	1	no	—
43	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#431	Q₈	1	2	yes	—
45	#428	—	4	4	no	—
46	#428	—	4	4	no	—
47	C₂×#107	—	2	4	no	—
48	C₂×#107	—	2	4	no	—
49	C₂×#106	—	2	4	no	—
50	#423	—	2	1	no	—
51	#423	—	2	1	no	—
52	#423	—	2	1	no	—
53	#423	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
62	C₂×#97	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
71	#384	—	2	1	no	—
72	#384	—	2	1	no	—
73	#384	—	2	1	no	—
74	#384	—	2	1	no	—
75	#384	—	2	1	no	—
76	#384	—	2	1	no	—
77	#384	—	2	1	no	—
78	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
79	#384	D₄	1	2	yes	—
80	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#382	—	2	1	no	—
82	#380	—	2	1	no	—
83	#380	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	#343	—	4	4	no	—
87	#340	—	2	8	no	—
88	#340	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
99	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
101	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂×M₁₆	D₈	1	4	yes	—
103	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
112	#117	—	4	2	no	—
113	#117	—	4	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
154	#107	—	4	8	no	—
155	#107	—	8	4	no	—
156	#106	—	4	8	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
162	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
165	#97	—	2	2	no	—
166	#97	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
175	#95	—	4	1	no	—
176	#95	—	4	1	no	—
177	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	4	4	no	—
218	M₁₆	—	8	2	no	—
219	M₁₆	#107	1	8	yes	complemented
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	8	1	no	—
233	C₂×C₈	—	8	1	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
255	C₄²	—	8	1	no	—
256	C₄²	—	8	1	no	—
257	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	#389	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#398	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#459	1	2	yes	—
281	C₂³	#462	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	1	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	1	no	—
303	C₂×C₄	—	8	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	16	4	no	—
307	C₂×C₄	—	16	4	no	—
308	C₂×C₄	#384	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#398	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#398	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#454	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#477	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#494	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#496	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#497	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#500	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#501	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	8	no	—
339	C₈	—	4	4	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	#1444	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#1947	1	2	yes	—
352	C₂²	#2003	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2004	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2011	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2016	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2019	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2019	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2083	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	16	1	no	—
364	C₄	—	16	2	no	—
365	C₄	—	16	1	no	—
366	C₄	—	16	2	no	—
367	C₄	#1845	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#1847	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#1852	1	2	yes	—
370	C₄	#1860	1	2	yes	—
371	C₄	#1951	1	2	yes	—
372	C₄	#2057	1	2	yes	—
373	C₄	#2061	1	2	yes	—
374	C₄	#2090	1	2	yes	—
375	C₄	#2093	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2095	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	2	no	—
379	C₂	#10150	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#10157	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#10163	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#10168	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#11324	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#11330	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#11339	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#392
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
29. #1278	C₄	semidirect
219. M₁₆	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21982	2
#20800	2
C₂×#1834	2
#10857	2
#8043	2
#7897	2
C₂×#1278	2