Subgroups — #122007

Order 512.

852 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#10847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#10834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8045	C₂	1	2	yes	maximal
5	#7897	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#544	—	2	1	no	—
7	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2857	—	2	2	no	—
11	#2659	C₄	1	4	yes	—
12	#2552	—	2	2	no	—
13	#2551	—	2	2	no	—
14	#2550	—	2	4	no	—
15	#2316	—	2	1	no	—
16	#2285	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#343	—	2	1	no	—
19	C₂×#343	—	2	1	no	—
20	C₂×#336	—	2	2	no	—
21	#1296	—	2	2	no	—
22	#1296	—	2	2	no	—
23	#1279	—	2	4	no	—
24	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
25	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
26	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
27	#544	—	4	4	no	—
28	#544	—	4	2	no	—
29	#544	—	4	2	no	—
30	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
32	C₂×#125	—	2	4	no	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×#117	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#423	—	2	2	no	—
40	#423	—	2	2	no	—
41	#423	—	2	2	no	—
42	#423	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	2	yes	complemented
49	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	complemented
53	#398	—	2	8	no	—
54	#395	—	2	8	no	—
55	#391	—	2	4	no	—
56	#389	—	2	4	no	—
57	#389	—	2	4	no	—
58	#389	—	2	4	no	—
59	#389	—	2	4	no	—
60	#384	—	2	2	no	—
61	#384	D₄	1	2	yes	—
62	#384	D₄	1	2	yes	—
63	#382	—	2	2	no	—
64	#380	—	2	4	no	—
65	#380	—	2	2	no	—
66	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#343	—	4	2	no	—
73	#343	—	4	2	no	—
74	#336	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
83	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
84	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
104	#125	—	4	8	no	—
105	#125	—	4	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
108	#117	—	4	2	no	—
109	#117	—	4	2	no	—
110	#117	—	4	2	no	—
111	#117	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	4	no	—
151	C₄×C₈	—	4	2	no	—
152	#95	—	2	8	no	—
153	#95	—	2	4	no	—
154	#95	—	2	4	no	—
155	#95	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
198	M₁₆	—	4	4	no	—
199	M₁₆	—	4	4	no	—
200	M₁₆	—	8	2	no	—
201	M₁₆	—	8	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	8	2	no	—
213	C₂×C₈	—	8	2	no	—
214	C₂×C₈	—	8	2	no	—
215	C₂×C₈	—	8	1	no	—
216	C₂×C₈	—	8	1	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	8	2	no	—
242	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
246	C₄²	#124	1	2	yes	—
247	C₄²	#124	1	2	yes	—
248	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
249	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	#379	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	#391	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	#391	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	16	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	#391	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#391	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#393	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#395	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#454	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#456	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#475	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#477	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#486	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#487	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#489	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#498	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#500	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#501	1	2	yes	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₈	—	8	4	no	—
321	C₈	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	1	no	—
328	C₂²	—	2	1	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	#1446	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#1786	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#1787	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#1791	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#1791	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#1792	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#1793	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#1987	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#1988	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#1990	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#1993	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	#2023	1	2	yes	—
354	C₄	#2024	1	2	yes	—
355	C₄	#2027	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2028	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2057	1	2	yes	—
358	C₄	#2058	1	2	yes	—
359	C₄	#2060	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2061	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	#8353	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#8354	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#8355	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#8356	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#11384	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#11391	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#11392	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#379
commutator	C₂³×C₄	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
42. #423	Q₈	semidirect
48. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
52. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35167	2
#10847	2
#10834	2
#8045	2
#7897	2