Subgroups — #126757

Order 512.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 267 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×M₃₂	—	2	1	no	—
6	C₂³×C₁₆	—	2	1	no	—
7	C₂×#423	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#405	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2285	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
12	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄⋊C₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×M₃₂	—	2	2	no	—
16	C₄×M₃₂	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#346	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	#1770	—	2	1	no	—
20	#1770	C₄	1	2	yes	—
21	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
22	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#1729	—	2	1	no	—
24	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
25	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
30	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
31	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
36	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
37	#423	—	2	2	no	—
38	#423	C₈	1	4	yes	—
39	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	#405	—	4	2	no	—
42	#405	—	4	2	no	—
43	C₂×#97	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#384	C₈	1	2	yes	—
54	#382	—	2	1	no	—
55	#380	—	2	1	no	—
56	#380	C₈	1	2	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
61	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#346	—	2	4	no	—
63	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
64	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#336	—	2	2	no	—
66	#336	—	2	2	no	—
67	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
70	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
71	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	D₈	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
85	C₂²×C₈	Q₁₆	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	#117	—	4	2	no	—
89	#117	—	4	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	M₁₆	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	M₃₂	—	2	16	no	—
104	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
114	#97	—	4	4	no	—
115	C₄×C₈	—	4	2	no	—
116	C₄×C₈	—	4	2	no	—
117	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
118	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	#95	—	2	2	no	—
128	#95	—	2	2	no	—
129	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	#97	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	#103	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	#104	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	#104	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
149	M₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	#102	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	#102	1	4	yes	—
163	C₂×C₈	#103	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	#103	1	4	yes	—
165	C₂×C₈	#106	1	4	yes	—
166	C₂×C₈	#107	1	4	yes	—
167	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄²	—	4	2	no	—
180	C₄²	—	4	2	no	—
181	C₄²	#95	1	2	yes	—
182	C₄²	C₄×C₈	1	2	yes	—
183	C₄²	#97	1	2	yes	—
184	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
185	C₄²	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
186	C₄²	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
187	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
188	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
190	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
191	C₁₆	—	2	8	no	—
192	C₁₆	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
196	C₂³	Q₈⋊C₈	1	2	yes	—
197	C₂³	#336	1	2	yes	—
198	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	Q₈⋊C₈	1	4	yes	—
212	C₂×C₄	Q₈⋊C₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#339	1	4	yes	—
217	C₂×C₄	#340	1	4	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
229	C₈	—	2	1	no	—
230	C₈	—	2	2	no	—
231	C₈	—	2	1	no	—
232	C₈	—	4	4	no	—
233	C₈	#340	1	4	yes	—
234	C₈	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
235	C₈	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
236	C₈	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
237	C₈	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	—	2	2	no	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	2	4	no	—
242	C₂²	#1279	1	4	yes	—
243	C₂²	C₂×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₂×Q₈⋊C₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	#2113	1	2	yes	—
247	C₂²	#2117	1	2	yes	—
248	C₄	—	2	2	no	—
249	C₄	—	2	2	no	—
250	C₄	—	2	1	no	—
251	C₄	—	2	1	no	—
252	C₄	—	8	4	no	—
253	C₄	#1279	1	4	yes	—
254	C₄	C₂×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
255	C₄	C₂×Q₈⋊C₈	1	1	yes	characteristic
256	C₄	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
257	C₄	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
258	C₄	#2108	1	2	yes	—
259	C₄	#2151	1	2	yes	—
260	C₂	—	2	4	no	—
261	C₂	C₂×#1279	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#11582	1	2	yes	—
263	C₂	#11606	1	2	yes	—
264	C₂	#12545	1	1	yes	characteristic
265	C₂	#12554	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²⋊C₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7167	C₂	semidirect
13. C₂×C₄⋊C₁₆	C₄	semidirect
16. C₄×M₃₂	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₁₆	2
C₂×C₄×M₃₂	2
#20437	2
#7167	2