Subgroups — #126821

Order 512.

556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	#2163	—	2	2	no	—
10	#2163	C₄	1	4	yes	complemented
11	#2162	—	2	2	no	—
12	#2162	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
14	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
16	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
17	C₂×#346	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
21	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
22	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#336	—	2	1	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
25	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₈	C₈	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
49	C₄×C₄⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#95	—	2	1	no	—
52	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
53	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
54	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
57	#346	—	2	4	no	—
58	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
59	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	#336	—	2	2	no	—
61	#336	—	2	2	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
71	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
72	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
85	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
89	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	M₁₆	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
100	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
101	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
102	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
103	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
106	C₄×C₈	—	4	4	no	—
107	C₄×C₈	—	4	4	no	—
108	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
109	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	#95	—	2	2	no	—
119	#95	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	#97	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂×C₈	—	4	8	no	—
155	C₂×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	M₃₂	1	8	yes	—
168	C₄²	—	4	4	no	—
169	C₄²	—	4	2	no	—
170	C₄²	—	4	2	no	—
171	C₄²	#95	1	2	yes	—
172	C₄²	C₄×C₈	1	2	yes	—
173	C₄²	#97	1	2	yes	—
174	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
175	C₄²	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
176	C₄²	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
177	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
178	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
180	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
181	C₁₆	—	4	4	no	—
182	C₁₆	—	4	4	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	—	2	1	no	—
186	C₂³	#336	1	2	yes	—
187	C₂³	#350	1	4	yes	—
188	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	#336	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	#419	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
220	C₈	—	2	1	no	—
221	C₈	—	2	2	no	—
222	C₈	—	2	1	no	—
223	C₈	—	2	2	no	—
224	C₈	—	4	4	no	—
225	C₈	#417	1	2	yes	—
226	C₈	#428	1	2	yes	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	2	no	—
231	C₂²	#1379	1	4	yes	—
232	C₂²	#1478	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#1479	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#2112	1	2	yes	—
236	C₂²	C₂×#350	1	2	yes	—
237	C₄	—	2	2	no	—
238	C₄	—	2	2	no	—
239	C₄	—	2	1	no	—
240	C₄	—	2	1	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	4	8	no	—
243	C₄	#1478	1	1	yes	characteristic
244	C₄	#1479	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#1733	1	1	yes	characteristic
246	C₄	#1736	1	1	yes	characteristic
247	C₄	C₄×M₃₂	1	2	yes	—
248	C₄	#2150	1	2	yes	—
249	C₂	—	2	4	no	—
250	C₂	#7892	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#11631	1	2	yes	—
252	C₂	#11639	1	2	yes	—
253	C₂	#12544	1	1	yes	characteristic
254	C₂	C₂×#1379	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²⋊C₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7167	C₂	semidirect
10. #2163	C₄	semidirect
12. #2162	C₄	semidirect
54. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
59. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2163	2
C₂×#2162	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#7167	2