Finite Group Databasebeta

Subgroups — #12735

Order 256.

474 conjugacy classes of subgroups; only the 89 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 474 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 89 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#360	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#41	—	2	1	no	—
6	C₂×#135	—	2	8	no	—
7	C₂×#135	—	2	1	no	—
8	C₂×#135	—	2	1	no	—
9	C₂×#135	C₄	1	2	yes	complemented
10	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
13	C₂²×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×M₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#380	—	2	1	no	—
18	#360	—	2	8	no	—
19	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
21	#340	—	2	1	no	—
22	C₂×#41	—	2	8	no	—
23	C₂×#41	—	2	2	no	—
24	C₂×#41	—	2	2	no	—
25	C₂×#41	—	4	4	no	—
26	C₂×#41	—	4	1	no	—
27	C₂×#41	—	4	1	no	—
28	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
29	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
30	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
31	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
32	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
33	#135	—	2	8	no	—
34	#135	—	2	8	no	—
35	#135	—	2	4	no	—
36	#135	—	2	4	no	—
37	#135	—	2	4	no	—
38	#135	D₄	1	8	yes	—
39	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂×D₈	—	2	1	no	—
47	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
57	M₃₂	—	2	4	no	—
58	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
59	#106	—	2	4	no	—
60	#95	—	4	1	no	—
61	C₂⁴	—	4	1	no	—
62	C₂⁴	D₈	1	1	yes	characteristic
63	#41	—	2	8	no	—
64	#41	—	2	8	no	—
65	#41	—	4	8	no	—
66	#41	—	4	4	no	—
67	#41	—	4	8	no	—
68	#41	—	4	4	no	—
69	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
72	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
73	C₂×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂×D₄	—	4	2	no	—
76	C₂×D₄	—	4	8	no	—
77	C₂×D₄	—	4	2	no	—
78	C₂×D₄	—	4	2	no	—
79	C₂×D₄	—	4	1	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
83	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
84	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	Q₁₆	—	2	4	no	—
94	Q₁₆	—	2	2	no	—
95	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
96	SD₁₆	—	2	8	no	—
97	SD₁₆	—	2	8	no	—
98	D₈	—	2	4	no	—
99	D₈	—	2	2	no	—
100	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
101	C₂×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
112	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
113	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
114	C₁₆	—	4	2	no	—
115	C₂³	—	2	2	no	—
116	C₂³	—	2	2	no	—
117	C₂³	—	4	1	no	—
118	C₂³	—	4	4	no	—
119	C₂³	—	4	2	no	—
120	C₂³	—	8	2	no	—
121	C₂³	—	8	2	no	—
122	C₂³	#102	1	1	yes	characteristic
123	C₂³	#102	1	1	yes	characteristic
124	C₂³	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
125	Q₈	—	2	4	no	—
126	Q₈	—	4	4	no	—
127	Q₈	—	4	2	no	—
128	D₄	—	2	4	no	—
129	D₄	—	4	4	no	—
130	D₄	—	4	8	no	—
131	D₄	—	4	8	no	—
132	D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄	—	8	2	no	—
145	C₂×C₄	—	8	2	no	—
146	C₂×C₄	—	8	2	no	—
147	C₂×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
153	C₈	—	2	1	no	—
154	C₈	—	2	1	no	—
155	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₈	#120	1	2	yes	—
157	C₂²	—	2	1	no	—
158	C₂²	—	2	1	no	—
159	C₂²	—	2	1	no	—
160	C₂²	—	2	1	no	—
161	C₂²	—	2	1	no	—
162	C₂²	—	2	1	no	—
163	C₂²	—	2	1	no	—
164	C₂²	—	4	4	no	—
165	C₂²	—	4	4	no	—
166	C₂²	—	8	8	no	—
167	C₂²	—	8	2	no	—
168	C₂²	—	8	2	no	—
169	C₂²	#360	1	2	yes	complemented
170	C₂²	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	#447	1	2	yes	—
172	C₄	—	2	1	no	—
173	C₄	—	2	1	no	—
174	C₄	—	4	4	no	—
175	C₄	—	16	2	no	—
176	C₄	#379	1	1	yes	characteristic
177	C₄	#418	1	1	yes	characteristic
178	C₄	#450	1	2	yes	—
179	C₂	—	2	2	no	—
180	C₂	—	2	2	no	—
181	C₂	—	4	1	no	—
182	C₂	—	8	4	no	—
183	C₂	#1786	1	1	yes	characteristic
184	C₂	C₂×#360	1	1	yes	characteristic
185	C₂	#2145	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#102
commutator	C₂×C₈	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂³
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#360	C₂	semidirect
3. #2112	C₂	semidirect
4. #1807	C₂	semidirect
9. C₂×#135	C₄	semidirect
11. C₂²×Q₁₆	C₄	semidirect
13. C₂²×D₈	C₄	semidirect
15. C₂×M₃₂	C₂²	semidirect
16. C₂×#106	C₂²	semidirect
95. Q₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
100. D₈	C₂²⋊C₄	semidirect
169. C₂²	#360	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂×#360	2
#2112	2
#1807	2