Subgroups — #128246

Order 512.

484 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 180 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×C₁₆	C₄	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₄	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×C₁₆	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
16	#1374	C₄	1	2	yes	—
17	#1311	—	2	4	no	—
18	#1273	C₄	1	2	yes	—
19	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
23	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
24	C₂²×C₁₆	C₈	1	8	yes	complemented
25	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₈	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²⋊C₁₆	C₈	1	8	yes	complemented
37	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
38	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
39	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
40	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
41	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
42	#336	C₈	1	4	yes	—
43	C₈²	—	2	2	no	—
44	C₈²	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
57	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
69	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
71	C₂×C₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
72	C₂×C₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
73	C₂×C₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
74	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
75	C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
83	C₂⁴	C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	M₃₂	1	8	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
97	C₂×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₈	—	2	1	no	—
99	C₂×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈	—	2	8	no	—
104	C₂×C₈	—	2	8	no	—
105	C₂×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂×C₈	C₄×C₈	1	2	yes	—
108	C₂×C₈	C₄×C₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
115	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
116	C₄²	—	2	1	no	—
117	C₄²	—	2	1	no	—
118	C₄²	—	2	4	no	—
119	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
120	C₄²	#131	1	2	yes	—
121	C₁₆	—	2	4	no	—
122	C₁₆	—	2	8	no	—
123	C₁₆	C₂²⋊C₈	1	8	yes	complemented
124	C₂³	—	2	2	no	—
125	C₂³	—	2	1	no	—
126	C₂³	—	2	1	no	—
127	C₂³	C₈²	1	2	yes	—
128	C₂³	#346	1	4	yes	—
129	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	C₈²	1	2	yes	—
140	C₂×C₄	#346	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
149	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
150	C₈	—	2	2	no	—
151	C₈	—	2	2	no	—
152	C₈	—	4	8	no	—
153	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
154	C₈	#431	1	2	yes	—
155	C₈	C₈×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²	—	2	4	no	—
157	C₂²	—	2	2	no	—
158	C₂²	—	2	4	no	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	#1311	1	4	yes	complemented
161	C₂²	C₂×C₈²	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	C₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
163	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²	C₂×#346	1	2	yes	—
165	C₂²	#2108	1	2	yes	—
166	C₄	—	2	4	no	—
167	C₄	—	2	2	no	—
168	C₄	C₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
169	C₄	#1450	1	1	yes	characteristic
170	C₄	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
171	C₄	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄	#2168	1	8	yes	—
173	C₂	—	2	4	no	—
174	C₂	C₈×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂	C₂×#1311	1	1	yes	characteristic
176	C₂	#11399	1	1	yes	characteristic
177	C₂	#11408	1	2	yes	—
178	C₂	#12611	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
commutator	C₂²	C₂×C₈²
socle	C₂³	C₂×C₄×C₈
prime radical	C₂⁴	C₄×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1311	C₂	semidirect
5. #7136	C₂	semidirect
24. C₂²×C₁₆	C₈	semidirect
36. C₂²⋊C₁₆	C₈	semidirect
123. C₁₆	C₂²⋊C₈	semidirect
160. C₂²	#1311	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₁₆	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1311	2
C₈×C₂²⋊C₈	2
#7136	2