Subgroups — #129494

Order 512.

1082 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×D₄⋊C₁₆	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
6	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₈×D₄	—	2	8	no	—
8	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
9	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
10	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#1374	—	2	1	no	—
20	#1374	—	2	1	no	—
21	D₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
22	C₂³×D₄	C₈	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
25	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
26	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
27	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
28	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
29	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
30	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
31	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₈	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
44	C₈×D₄	—	2	8	no	—
45	C₈×D₄	—	2	8	no	—
46	C₈×D₄	—	2	4	no	—
47	C₈×D₄	—	2	4	no	—
48	C₈×D₄	—	2	4	no	—
49	C₈×D₄	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
64	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂⁵	—	2	1	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×D₄	C₁₆	1	4	yes	complemented
71	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
81	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	D₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	2	8	no	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	2	no	—
114	C₄×D₄	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₄×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	M₁₆	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
140	C₄×C₈	—	2	2	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	2	no	—
148	C₂⁴	—	4	2	no	—
149	C₂⁴	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	—	4	2	no	—
151	C₂⁴	—	4	2	no	—
152	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	16	no	—
156	C₂×D₄	—	2	16	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
163	C₂×D₄	M₃₂	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#104	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	M₃₂	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	4	4	no	—
211	C₂×C₈	—	4	16	no	—
212	C₂×C₈	—	4	8	no	—
213	C₂×C₈	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	8	no	—
216	C₂×C₈	—	4	8	no	—
217	C₂×C₈	#102	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	1	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
235	C₁₆	—	4	4	no	—
236	C₁₆	—	8	2	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	1	no	—
240	C₂³	—	2	1	no	—
241	C₂³	—	2	16	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	4	8	no	—
246	C₂³	—	4	8	no	—
247	C₂³	—	4	8	no	—
248	C₂³	—	4	8	no	—
249	C₂³	—	4	8	no	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
257	C₂³	#350	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
259	D₄	—	2	16	no	—
260	D₄	—	2	4	no	—
261	D₄	—	2	4	no	—
262	D₄	—	2	4	no	—
263	D₄	C₂²⋊C₁₆	1	8	yes	complemented
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	16	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#407	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	4	4	no	—
305	C₈	—	4	1	no	—
306	C₈	#447	1	2	yes	—
307	C₈	#450	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	4	32	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	D₄⋊C₁₆	1	4	yes	complemented
323	C₂²	C₂×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#1478	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#1779	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2112	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#350	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2117	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	1	no	—
335	C₄	#1486	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#1490	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#1786	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#1789	1	1	yes	characteristic
339	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
340	C₄	#2112	1	2	yes	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	—	4	8	no	—
343	C₂	#8310	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×D₄⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#11583	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#11629	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#11631	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#12679	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#12683	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₁₆
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂³×D₄	C₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #12783	C₂	semidirect
3. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
4. C₂×D₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
15. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
70. C₂²×D₄	C₁₆	semidirect
263. D₄	C₂²⋊C₁₆	semidirect
322. C₂²	D₄⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
#12783	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×D₄⋊C₁₆	2