Subgroups — #129502

Order 512.

880 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#135	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
8	C₄×#135	—	2	4	no	—
9	C₄×#135	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
13	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
14	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#416	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#1797	—	2	1	no	—
22	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
23	#1374	—	2	1	no	—
24	#1332	—	2	4	no	—
25	#1331	—	2	4	no	—
26	#1277	—	2	1	no	—
27	C₂²×#41	—	2	1	no	—
28	C₂×#135	—	2	2	no	—
29	C₂×#135	—	2	2	no	—
30	C₂×#135	—	2	2	no	—
31	C₂×#135	—	2	2	no	—
32	C₂×#135	—	2	2	no	—
33	C₂×#135	C₈	1	4	yes	complemented
34	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₄×#41	—	2	8	no	—
40	C₄×#41	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
47	C₂×#117	—	2	1	no	—
48	C₂×#117	—	4	1	no	—
49	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
53	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
54	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
55	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
56	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
57	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	C₄×D₈	—	2	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
62	#427	—	2	2	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#106	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#416	—	2	8	no	—
69	C₂×#103	—	2	1	no	—
70	C₂×#103	—	2	1	no	—
71	C₂×#102	—	2	1	no	—
72	C₂×#102	—	2	1	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
83	#336	—	4	1	no	—
84	#335	—	2	2	no	—
85	#335	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	4	2	no	—
90	C₂×#41	—	4	2	no	—
91	C₂×#41	—	4	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
98	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
101	#135	—	2	8	no	—
102	#135	—	2	8	no	—
103	#135	—	2	8	no	—
104	#135	—	2	8	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
110	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	2	yes	—
111	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	—	2	1	no	—
115	C₂×D₈	—	2	1	no	—
116	C₂×D₈	—	2	1	no	—
117	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
119	C₂×D₈	M₁₆	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	2	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	4	2	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	4	8	no	—
146	#117	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
166	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
167	#107	—	2	1	no	—
168	#107	—	2	1	no	—
169	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	#106	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
174	#103	—	2	4	no	—
175	#103	—	2	4	no	—
176	#102	—	2	4	no	—
177	#102	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂⁴	—	4	1	no	—
186	C₂⁴	#102	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	2	16	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	1	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
230	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#104	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	2	2	no	—
239	Q₁₆	—	2	2	no	—
240	Q₁₆	—	2	2	no	—
241	Q₁₆	C₂²⋊C₈	1	4	yes	complemented
242	SD₁₆	—	2	16	no	—
243	D₈	—	2	2	no	—
244	D₈	—	2	2	no	—
245	D₈	—	2	2	no	—
246	D₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	complemented
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	8	2	no	—
260	C₂×C₈	—	8	2	no	—
261	C₂×C₈	—	8	2	no	—
262	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	#120	1	2	yes	—
287	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
288	C₁₆	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	8	1	no	—
299	C₂³	—	8	1	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	2	4	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	4	16	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	—	8	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#359	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#509	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#510	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	4	1	no	—
358	C₈	—	16	2	no	—
359	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
360	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
361	C₈	#407	1	1	yes	characteristic
362	C₈	#407	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	1	no	—
368	C₂²	—	4	1	no	—
369	C₂²	—	4	1	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	8	2	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	C₂×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#1486	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#1786	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#2138	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2139	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#359	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2143	1	1	yes	characteristic
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	1	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	#1478	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#1490	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#1779	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#1789	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2186	1	2	yes	—
396	C₄	#2189	1	2	yes	—
397	C₂	—	4	2	no	—
398	C₂	—	8	4	no	—
399	C₂	#8310	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#11591	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#11592	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#11659	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#11660	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#12733	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#12734	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂²×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×#102
prime radical	C₂²×#135	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#1332	C₂	semidirect
4. C₂×#1331	C₂	semidirect
5. #8596	C₂	semidirect
33. C₂×#135	C₈	semidirect
241. Q₁₆	C₂²⋊C₈	semidirect
246. D₈	C₂²⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1332	2
C₂×#1331	2
#8596	2