Subgroups — #129537

Order 512.

800 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×Q₈⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×D₄⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₈×#41	—	2	4	no	—
8	C₈×#41	—	2	4	no	—
9	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
12	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#431	—	2	1	no	—
16	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#1374	—	2	1	no	—
24	#1374	—	2	1	no	—
25	Q₈⋊C₁₆	—	2	4	no	—
26	D₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
27	C₂²×#41	C₈	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
29	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
30	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#41	—	2	2	no	—
33	C₄×#41	—	2	2	no	—
34	C₄×#41	—	2	2	no	—
35	C₄×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×D₄	C₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	—	2	1	no	—
43	C₂×#117	C₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
48	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
52	C₈×D₄	—	2	8	no	—
53	C₈×D₄	—	2	8	no	—
54	C₈×D₄	—	2	2	no	—
55	C₈×D₄	—	2	2	no	—
56	C₈×D₄	—	2	2	no	—
57	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
58	#431	—	2	8	no	—
59	#431	—	2	2	no	—
60	#431	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
82	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	C₁₆	1	4	yes	complemented
90	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
92	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₄×Q₈	M₁₆	1	2	yes	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	1	no	—
132	C₄×D₄	—	2	1	no	—
133	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	M₁₆	1	2	yes	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	M₁₆	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	—	2	1	no	—
184	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	2	8	no	—
188	#41	—	2	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
194	C₂×Q₈	M₃₂	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	1	no	—
200	C₂×D₄	—	2	1	no	—
201	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
202	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	M₃₂	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	M₃₂	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	8	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	#104	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	#137	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	1	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	1	no	—
286	C₄²	—	2	1	no	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
291	C₁₆	—	4	4	no	—
292	C₁₆	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	1	no	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	4	1	no	—
303	C₂³	—	4	1	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	—	4	1	no	—
306	C₂³	C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	2	no	—
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	complemented
312	D₄	—	2	16	no	—
313	D₄	—	2	2	no	—
314	D₄	—	2	2	no	—
315	D₄	—	2	2	no	—
316	D₄	C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	complemented
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#350	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	4	1	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	#449	1	2	yes	—
373	C₈	#452	1	2	yes	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	#1476	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#1477	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#1779	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2112	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#350	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2117	1	1	yes	characteristic
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	4	1	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	#1488	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#1489	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#1788	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#1789	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
408	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2112	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#2112	1	1	yes	characteristic
411	C₂	—	4	2	no	—
412	C₂	—	4	4	no	—
413	C₂	#8312	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#11613	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#11615	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#11621	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#11623	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#12679	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#12683	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₁₆
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂²×#41	C₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #12783	C₂	semidirect
3. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
4. C₂×Q₈⋊C₁₆	C₂	semidirect
5. C₂×D₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
89. C₂×#41	C₁₆	semidirect
311. Q₈	C₂²⋊C₁₆	semidirect
316. D₄	C₂²⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
#12783	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×Q₈⋊C₁₆	2
C₂×D₄⋊C₁₆	2