Subgroups — C₇×#21786 #13199002

Order 1792.

1818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₇×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₇×#431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₇×#1954	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₇×#1779	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂³×C₇×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂⁴×C₄×C₇	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×C₇×D₄	—	2	8	no	—
8	C₂×C₄×C₇×D₄	C₄	1	4	yes	—
9	C₂×C₄×C₇×D₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₇×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₇×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄²×C₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₇×#431	—	2	8	no	—
14	C₂×C₇×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×C₇×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₇×C₂²⋊C₈	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×C₄×C₇×C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#21786	C₇	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
19	C₂⁵×C₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₇×D₄	—	2	4	no	—
21	C₂²×C₇×D₄	—	2	4	no	—
22	C₂²×C₇×D₄	C₈	1	8	yes	complemented
23	C₂²×C₇×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
24	C₂³×C₄×C₇	—	2	8	no	—
25	C₂³×C₄×C₇	—	4	8	no	—
26	C₂³×C₄×C₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂³×C₄×C₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×C₄×C₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄×C₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₇×C₈	C₂³	1	8	yes	—
33	C₄×C₇×D₄	—	2	16	no	—
34	C₄×C₇×D₄	—	2	8	no	—
35	C₄×C₇×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂×C₇×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₇×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
39	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄²×C₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄²×C₇	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄²×C₇	C₂³	1	2	yes	—
43	C₇×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
44	C₇×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
45	C₇×C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
46	C₄×C₇×C₈	—	2	8	no	—
47	C₂²×C₄×D₄	C₂×C₇	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#431	C₂×C₇	1	2	yes	complemented
49	#1954	C₂×C₇	1	8	yes	complemented
50	#1779	C₂×C₇	1	4	yes	complemented
51	C₂⁴×C₇	—	2	4	no	—
52	C₂⁴×C₇	—	2	4	no	—
53	C₂⁴×C₇	—	4	4	no	—
54	C₂⁴×C₇	—	4	4	no	—
55	C₂⁴×C₇	C₂×C₈	1	8	yes	—
56	C₂⁴×C₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
57	C₂⁴×C₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₇×D₄	—	2	32	no	—
59	C₂×C₇×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂×C₇×D₄	—	2	8	no	—
61	C₂×C₇×D₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
62	C₂²×C₄×C₇	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₇	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₇	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄×C₇	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄×C₇	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₄×C₇	—	4	8	no	—
68	C₂²×C₄×C₇	—	4	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₇	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₇	—	4	32	no	—
71	C₂²×C₄×C₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₇	C₂×C₈	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₇	M₁₆	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₇×C₈	—	2	8	no	—
82	C₂×C₇×C₈	—	2	16	no	—
83	C₇×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₇×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
85	C₄²×C₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₄²×C₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₄²×C₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂³×D₄	C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
89	C₂⁴×C₄	C₂²×C₇	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄×D₄	C₄×C₇	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₇	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄×C₇	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂²×C₇	1	1	yes	characteristic
96	#431	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₇	1	4	yes	complemented
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₇	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₇	1	16	yes	complemented
100	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₇	1	4	yes	complemented
101	C₂³×C₇	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₇	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₇	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₇	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₇	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₇	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₇	—	2	16	no	—
108	C₂³×C₇	—	4	16	no	—
109	C₂³×C₇	—	4	8	no	—
110	C₂³×C₇	—	4	8	no	—
111	C₂³×C₇	—	4	16	no	—
112	C₂³×C₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₇	C₂²×C₈	1	8	yes	—
114	C₂³×C₇	C₂²×C₈	1	2	yes	—
115	C₂³×C₇	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
116	C₂³×C₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₇×D₄	—	2	32	no	—
118	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₇	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₇	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₇	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₇	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₇	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄×C₇	—	4	16	no	—
125	C₂×C₄×C₇	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄×C₇	—	4	16	no	—
127	C₂×C₄×C₇	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
128	C₂×C₄×C₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₇	C₂²×C₈	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₇	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
135	C₇×C₈	—	4	8	no	—
136	C₂⁵	C₂×C₄×C₇	1	2	yes	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	C₇×C₈	1	8	yes	complemented
140	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₇	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
143	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₇	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₇	1	4	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂³×C₇	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂³×C₇	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂³×C₇	1	8	yes	—
150	C₄×D₄	—	2	16	no	—
151	C₄×D₄	—	2	8	no	—
152	C₄×D₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₇	1	4	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₇	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₇	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₇×D₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³×C₇	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
163	C₄×C₈	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₇	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₇	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₇	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₇	—	2	16	no	—
170	C₂²×C₇	—	4	32	no	—
171	C₂²×C₇	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₇	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₇	—	4	8	no	—
174	C₂²×C₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
175	C₂²×C₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₇	#518	1	2	yes	—
177	C₂²×C₇	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₇	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₇	#568	1	2	yes	—
180	C₄×C₇	—	2	2	no	—
181	C₄×C₇	—	2	4	no	—
182	C₄×C₇	—	4	4	no	—
183	C₄×C₇	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
184	C₄×C₇	#535	1	4	yes	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	C₂×C₇×C₈	1	8	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×C₄×C₇	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	—	2	32	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	C₂×C₇×C₈	1	16	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂²×C₄	C₇×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₇×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₇×C₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₇×M₁₆	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₇	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₇	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₇	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₇×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴×C₇	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	—	2	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
219	C₄²	C₇×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
220	C₄²	C₂×C₇×D₄	1	4	yes	—
221	C₄²	C₂×C₇×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₇	—	2	4	no	—
223	C₂×C₇	—	4	8	no	—
224	C₂×C₇	#2309	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₇	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₇	#2879	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₇	#2972	1	2	yes	—
228	C₂×C₇	#2975	1	2	yes	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	16	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	4	16	no	—
237	C₂³	—	4	8	no	—
238	C₂³	—	4	16	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂²×C₇×C₈	1	8	yes	—
242	C₂³	C₂²×C₇×C₈	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×C₇×M₁₆	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂³×C₄×C₇	1	1	yes	characteristic
245	D₄	—	2	32	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂×C₄	C₇×C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
256	C₂×C₄	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×C₇×C₈	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₇×M₁₆	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₇×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₇×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	C₈	—	4	8	no	—
264	C₇	#21786	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
265	C₂²	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	16	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	4	32	no	—
272	C₂²	—	4	8	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	C₂×C₇×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
276	C₂²	C₂²×C₇×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₇×#518	1	2	yes	—
278	C₂²	C₂³×C₇×C₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂²×C₇×M₁₆	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₇×#568	1	2	yes	—
281	C₄	—	2	2	no	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	4	4	no	—
284	C₄	C₂×C₇×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
285	C₄	C₇×#535	1	4	yes	—
286	C₂	—	2	4	no	—
287	C₂	—	4	8	no	—
288	C₂	C₇×#2309	1	1	yes	characteristic
289	C₂	C₂²×C₇×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂	C₇×#2879	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₇×#2972	1	2	yes	—
292	C₂	C₇×#2975	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄×C₇	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₇×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₇
socle	C₂³×C₇	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×C₇×D₄	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄×C₇ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₇×#431	C₂	semidirect
3. C₇×#1954	C₂	semidirect
4. C₇×#1779	C₂	semidirect
14. C₂×C₇×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
16. C₂×C₇×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×C₇×C₈	C₂²	semidirect
18. #21786	C₇	direct (N × H)
22. C₂²×C₇×D₄	C₈	semidirect
48. C₂×#431	C₂×C₇	semidirect
49. #1954	C₂×C₇	semidirect
50. #1779	C₂×C₇	semidirect
97. C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₇	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₇	semidirect
100. C₂×C₄×C₈	C₂²×C₇	semidirect
127. C₂×C₄×C₇	C₂²⋊C₈	semidirect
139. C₂²×D₄	C₇×C₈	semidirect
255. C₂×C₄	C₇×C₂²⋊C₈	semidirect
264. C₇	#21786	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₇×D₄	2
C₂×C₇×#431	2
C₇×#1954	2
C₇×#1779	2
#21786	7

Subgroups — C7×#21786 #13199002

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₇×#21786 #13199002