Subgroups — #134358

Order 512.

494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1331	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#7171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	#1842	—	2	1	no	—
13	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#102	—	2	1	no	—
17	C₄×#102	—	2	1	no	—
18	C₄×#102	—	2	1	no	—
19	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#335	—	2	1	no	—
21	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
22	#1374	—	2	1	no	—
23	#1331	—	2	4	no	—
24	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
29	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
30	C₄×D₈	—	2	2	no	—
31	C₄×D₈	—	2	2	no	—
32	C₄×D₈	—	2	2	no	—
33	C₄×D₈	—	2	1	no	—
34	C₄×D₈	—	2	1	no	—
35	C₄×D₈	C₈	1	4	yes	complemented
36	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
37	C₄×D₈	Q₈	1	2	yes	—
38	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
43	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
44	C₂×#102	—	2	1	no	—
45	C₂×#102	—	2	1	no	—
46	C₂×#102	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
57	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
58	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
59	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
61	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
62	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
63	#340	—	2	1	no	—
64	#340	—	2	1	no	—
65	#340	—	2	1	no	—
66	#335	—	2	2	no	—
67	#335	—	2	2	no	—
68	#335	—	4	2	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
73	C₂×D₈	—	2	1	no	—
74	C₂×D₈	—	2	1	no	—
75	C₂×D₈	—	2	1	no	—
76	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
78	C₂×D₈	M₁₆	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₄×D₄	—	2	4	no	—
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₄×D₄	—	4	2	no	—
89	C₄×D₄	—	4	2	no	—
90	C₄×D₄	—	4	1	no	—
91	C₄×D₄	—	4	1	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
98	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
99	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
100	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
101	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
103	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
113	#107	—	2	1	no	—
114	#107	—	2	1	no	—
115	#107	—	2	1	no	—
116	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	#107	C₂×C₈	1	2	yes	—
118	#107	M₁₆	1	2	yes	—
119	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
120	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
121	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
122	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
123	#102	—	2	4	no	—
124	#102	—	2	4	no	—
125	#102	—	2	2	no	—
126	#102	—	2	2	no	—
127	C₄×C₈	—	2	1	no	—
128	C₄×C₈	—	2	1	no	—
129	C₄×C₈	—	2	2	no	—
130	C₄×C₈	—	2	1	no	—
131	C₄×C₈	—	2	1	no	—
132	C₄×C₈	—	4	1	no	—
133	C₄×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
134	C₄×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
135	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
139	#95	—	4	1	no	—
140	#95	—	4	1	no	—
141	#95	—	4	1	no	—
142	C₂⁴	—	4	1	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	1	no	—
147	C₂×D₄	—	4	1	no	—
148	C₂×D₄	—	4	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
164	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
171	D₈	—	2	2	no	—
172	D₈	—	2	2	no	—
173	D₈	—	2	2	no	—
174	D₈	C₄⋊C₈	1	4	yes	complemented
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	—	8	2	no	—
183	C₂×C₈	—	8	2	no	—
184	C₂×C₈	—	8	2	no	—
185	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	2	1	no	—
206	C₄²	—	2	1	no	—
207	C₄²	—	2	1	no	—
208	C₄²	—	2	1	no	—
209	C₄²	—	4	1	no	—
210	C₄²	—	8	2	no	—
211	C₄²	—	8	2	no	—
212	C₄²	—	8	1	no	—
213	C₄²	—	8	1	no	—
214	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
215	C₄²	#104	1	2	yes	—
216	C₄²	D₁₆	1	2	yes	—
217	C₄²	SD₃₂	1	2	yes	—
218	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	#137	1	1	yes	characteristic
222	C₁₆	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	8	1	no	—
227	C₂³	—	8	1	no	—
228	C₂³	—	8	1	no	—
229	C₂³	—	8	1	no	—
230	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
231	D₄	—	2	4	no	—
232	D₄	—	4	2	no	—
233	D₄	—	4	2	no	—
234	D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	8	8	no	—
248	C₂×C₄	—	8	1	no	—
249	C₂×C₄	—	8	1	no	—
250	C₂×C₄	—	8	1	no	—
251	C₂×C₄	—	8	1	no	—
252	C₂×C₄	—	8	1	no	—
253	C₂×C₄	—	8	1	no	—
254	C₂×C₄	—	8	8	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	2	no	—
257	C₂×C₄	—	8	2	no	—
258	C₂×C₄	—	8	2	no	—
259	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#357	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#357	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#359	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#104	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#421	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#459	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#461	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#474	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#476	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#509	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#510	1	1	yes	characteristic
278	C₈	—	2	1	no	—
279	C₈	—	2	1	no	—
280	C₈	—	2	2	no	—
281	C₈	—	4	1	no	—
282	C₈	—	16	2	no	—
283	C₈	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
284	C₈	#423	1	1	yes	characteristic
285	C₈	#431	1	1	yes	characteristic
286	C₈	#432	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	8	2	no	—
289	C₂²	—	8	2	no	—
290	C₂²	—	8	2	no	—
291	C₂²	—	8	2	no	—
292	C₂²	—	8	2	no	—
293	C₂²	—	8	2	no	—
294	C₂²	C₂×D₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#1486	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#1802	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#357	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2139	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#359	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2143	1	1	yes	characteristic
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	1	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	4	1	no	—
306	C₄	—	8	2	no	—
307	C₄	—	8	2	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	#1331	1	4	yes	complemented
310	C₄	#1477	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#1489	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#1797	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#1806	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2206	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2208	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#2224	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#2226	1	1	yes	characteristic
318	C₂	—	8	4	no	—
319	C₂	#8563	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×#1331	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#11592	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#11657	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#11660	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#12811	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#12815	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂²×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×#102
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄³ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
4. #8806	C₂	semidirect
5. #7171	C₂	semidirect
35. C₄×D₈	C₈	semidirect
174. D₈	C₄⋊C₈	semidirect
309. C₄	#1331	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₈	2
C₄×C₄⋊C₁₆	2
C₂×#1331	2
#8806	2
#7171	2