Subgroups — #135813

Order 512.

382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1371	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	#1797	—	2	1	no	—
12	C₂×#335	—	2	1	no	—
13	C₂×#335	—	2	4	no	—
14	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
17	#1374	C₄	1	2	yes	—
18	#1371	—	2	4	no	—
19	#1277	—	2	1	no	—
20	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
21	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
27	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
28	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
29	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
31	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
32	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
33	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²⋊C₁₆	C₈	1	4	yes	complemented
41	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
42	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
43	#336	—	4	1	no	—
44	#335	—	2	4	no	—
45	#335	—	2	2	no	—
46	#335	—	2	2	no	—
47	#335	—	2	2	no	—
48	#335	D₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
57	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
58	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
60	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
61	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
63	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
66	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×C₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
83	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
85	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
86	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
87	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
88	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
89	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
91	C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
97	C₂⁴	#107	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	#107	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	#107	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	#107	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	#108	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	D₁₆	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	Q₃₂	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂×C₈	—	8	8	no	—
132	C₂×C₈	—	8	2	no	—
133	C₂×C₈	—	8	2	no	—
134	C₂×C₈	—	8	1	no	—
135	C₂×C₈	—	8	1	no	—
136	C₂×C₈	—	8	1	no	—
137	C₂×C₈	—	8	1	no	—
138	C₂×C₈	—	8	1	no	—
139	C₂×C₈	—	8	1	no	—
140	C₂×C₈	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
146	C₄²	—	2	1	no	—
147	C₄²	—	2	1	no	—
148	C₄²	—	2	1	no	—
149	C₄²	—	2	1	no	—
150	C₄²	—	2	1	no	—
151	C₄²	—	2	1	no	—
152	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
153	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
154	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
155	C₄²	#137	1	1	yes	characteristic
156	C₁₆	—	2	4	no	—
157	C₁₆	—	4	2	no	—
158	C₂³	—	2	1	no	—
159	C₂³	—	2	1	no	—
160	C₂³	—	2	1	no	—
161	C₂³	—	2	1	no	—
162	C₂³	#335	1	2	yes	—
163	C₂³	#366	1	2	yes	—
164	C₂³	#368	1	2	yes	—
165	C₂³	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄	#335	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	#366	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	#424	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄	#428	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄	C₂×#108	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄	#430	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	#447	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	#451	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	#480	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	#484	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	#509	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	#510	1	1	yes	characteristic
201	C₈	—	2	2	no	—
202	C₈	—	2	2	no	—
203	C₈	—	4	1	no	—
204	C₈	—	8	4	no	—
205	C₈	—	16	1	no	—
206	C₈	—	16	1	no	—
207	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
208	C₈	#435	1	2	yes	—
209	C₂²	—	2	2	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	—	2	2	no	—
212	C₂²	—	2	2	no	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	#1371	1	4	yes	complemented
216	C₂²	C₂×#335	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	#1571	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#1852	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	C₂×#366	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	#2159	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂×#368	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	#2161	1	1	yes	characteristic
223	C₄	—	2	2	no	—
224	C₄	—	2	1	no	—
225	C₄	—	2	1	no	—
226	C₄	—	2	2	no	—
227	C₄	—	4	1	no	—
228	C₄	#1565	1	1	yes	characteristic
229	C₄	#1573	1	1	yes	characteristic
230	C₄	#1850	1	1	yes	characteristic
231	C₄	#1855	1	1	yes	characteristic
232	C₄	#2184	1	1	yes	characteristic
233	C₄	#2188	1	1	yes	characteristic
234	C₄	#2232	1	1	yes	characteristic
235	C₄	#2236	1	1	yes	characteristic
236	C₂	—	2	4	no	—
237	C₂	#8829	1	1	yes	characteristic
238	C₂	C₂×#1371	1	1	yes	characteristic
239	C₂	#12009	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#12032	1	1	yes	characteristic
241	C₂	#12035	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#12919	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#12922	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂²×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×#107
prime radical	C₂⁴	#107
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1371	C₂	semidirect
5. #7154	C₂	semidirect
40. C₂²⋊C₁₆	C₈	semidirect
82. C₂×C₁₆	C₂×C₈	semidirect
215. C₂²	#1371	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#335	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1371	2
#8596	2
#7154	2