Subgroups — #13802

Order 256.

1091 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1436	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
17	#380	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
19	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂×#95	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
31	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
32	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
33	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
34	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
61	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	#95	—	2	8	no	—
63	#95	—	2	8	no	—
64	#95	—	4	4	no	—
65	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#95	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
69	#95	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂⁴	—	2	4	no	—
71	C₂⁴	—	2	4	no	—
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
77	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
78	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
79	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
103	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
108	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
109	C₂²×C₄	C₄²	1	16	yes	complemented
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
124	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
128	C₄²	—	4	8	no	—
129	C₄²	—	4	16	no	—
130	C₂³	—	2	4	no	—
131	C₂³	—	2	4	no	—
132	C₂³	—	2	4	no	—
133	C₂³	—	2	4	no	—
134	C₂³	—	2	4	no	—
135	C₂³	—	2	4	no	—
136	C₂³	—	2	8	no	—
137	C₂³	—	2	8	no	—
138	C₂³	—	2	8	no	—
139	C₂³	—	2	8	no	—
140	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
141	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂³	#117	1	4	yes	—
143	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
144	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
145	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
147	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
155	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	4	16	no	—
180	C₂×C₄	—	4	32	no	—
181	C₂×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
193	C₂²	—	2	8	no	—
194	C₂²	—	2	8	no	—
195	C₂²	—	2	8	no	—
196	C₂²	—	2	8	no	—
197	C₂²	—	2	8	no	—
198	C₂²	—	2	8	no	—
199	C₂²	—	2	4	no	—
200	C₂²	—	2	4	no	—
201	C₂²	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
202	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
205	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
206	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
211	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
212	C₂²	#518	1	2	yes	—
213	C₂²	#518	1	2	yes	—
214	C₂²	#518	1	2	yes	—
215	C₂²	#546	1	4	yes	—
216	C₂²	#551	1	4	yes	—
217	C₂²	#553	1	4	yes	—
218	C₂²	#554	1	4	yes	—
219	C₄	—	2	8	no	—
220	C₄	—	2	8	no	—
221	C₄	—	2	4	no	—
222	C₄	—	2	4	no	—
223	C₄	—	4	4	no	—
224	C₄	—	4	4	no	—
225	C₄	—	4	8	no	—
226	C₂	—	2	8	no	—
227	C₂	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
229	C₂	#2273	1	1	yes	characteristic
230	C₂	#2342	1	2	yes	—
231	C₂	#2345	1	2	yes	—
232	C₂	#2349	1	2	yes	—
233	C₂	#2353	1	2	yes	—
234	C₂	#2364	1	2	yes	—
235	C₂	#2368	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1436	C₂	semidirect
6. #1434	C₂	semidirect
8. C₄×#95	C₂	semidirect
17. #380	C₄	semidirect
19. C₄×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
20. C₂×#95	C₄	semidirect
47. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
68. #95	C₂×C₄	semidirect
69. #95	C₂×C₄	semidirect
109. C₂²×C₄	C₄²	semidirect
127. C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#380	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#95	2
#1436	2
#1434	2
C₂²⋊#95	2
C₄×#95	2