Subgroups — #13804

Order 256.

831 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 227 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1436	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1434	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#95	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#382	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
19	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
55	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#95	—	2	8	no	—
61	#95	—	2	8	no	—
62	#95	—	4	4	no	—
63	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
117	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
121	C₄²	—	2	16	no	—
122	C₄²	—	4	8	no	—
123	C₄²	—	4	16	no	—
124	C₄²	C₄²	1	16	yes	complemented
125	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
133	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
174	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
179	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
184	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
185	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
187	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
195	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
196	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	#520	1	2	yes	—
198	C₂²	#520	1	2	yes	—
199	C₂²	#546	1	2	yes	—
200	C₂²	#548	1	2	yes	—
201	C₂²	#552	1	2	yes	—
202	C₂²	#553	1	2	yes	—
203	C₂²	#554	1	2	yes	—
204	C₂²	#556	1	2	yes	—
205	C₂²	#557	1	2	yes	—
206	C₂²	#559	1	2	yes	—
207	C₄	—	2	8	no	—
208	C₄	—	2	8	no	—
209	C₄	—	2	4	no	—
210	C₄	—	2	4	no	—
211	C₄	—	4	4	no	—
212	C₄	—	4	4	no	—
213	C₄	—	4	8	no	—
214	C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
217	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
218	C₂	#2349	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#2351	1	1	yes	characteristic
220	C₂	#2352	1	2	yes	—
221	C₂	#2355	1	2	yes	—
222	C₂	#2356	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#2357	1	1	yes	characteristic
224	C₂	#2367	1	2	yes	—
225	C₂	#2370	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
17. #382	C₄	semidirect
19. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
20. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
120. C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	semidirect
124. C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#382	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
#1436	2
C₄⋊#95	2
#1434	2
C₄×#95	2