Subgroups — #13806

Order 256.

743 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 189 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1436	C₂	1	4	yes	maximal
5	#1434	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1434	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#95	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#95	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#383	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
16	#376	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#95	—	2	8	no	—
50	#95	—	2	8	no	—
51	#95	—	4	4	no	—
52	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
102	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
103	C₄²	—	2	16	no	—
104	C₄²	—	4	8	no	—
105	C₄²	—	4	16	no	—
106	C₄²	C₄²	1	16	yes	complemented
107	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
111	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
112	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
113	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
114	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
115	C₂×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
152	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
154	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
155	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
156	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
157	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
158	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
159	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
161	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
162	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
163	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
164	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
165	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
166	C₂²	#520	1	2	yes	—
167	C₂²	#520	1	2	yes	—
168	C₂²	#551	1	4	yes	—
169	C₂²	#552	1	4	yes	—
170	C₂²	#553	1	4	yes	—
171	C₂²	#556	1	4	yes	—
172	C₄	—	2	8	no	—
173	C₄	—	2	8	no	—
174	C₄	—	2	4	no	—
175	C₄	—	2	4	no	—
176	C₄	—	2	4	no	—
177	C₄	—	4	4	no	—
178	C₄	—	4	4	no	—
179	C₄	—	4	8	no	—
180	C₂	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
181	C₂	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
182	C₂	#2274	1	1	yes	characteristic
183	C₂	#2343	1	2	yes	—
184	C₂	#2347	1	2	yes	—
185	C₂	#2353	1	2	yes	—
186	C₂	#2356	1	2	yes	—
187	C₂	#2373	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. #383	C₄	semidirect
15. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
16. #376	C₄	semidirect
106. C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#383	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#376	2
#1436	2
#1434	2
C₄×#95	2