Subgroups — #138102

Order 512.

442 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 270 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×C₁₆	—	2	1	no	—
7	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2857	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#1990	—	2	1	no	—
14	#1942	—	2	1	no	—
15	#1942	C₄	1	2	yes	—
16	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1808	—	2	1	no	—
18	#1808	C₄	1	2	yes	—
19	#1797	—	2	1	no	—
20	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
21	#1364	—	2	4	no	—
22	#1277	—	2	1	no	—
23	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
27	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
31	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
32	#500	—	2	2	no	—
33	#500	—	2	2	no	—
34	C₂×#107	—	2	1	no	—
35	C₂×#107	—	2	1	no	—
36	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#391	—	4	1	no	—
47	#389	—	2	2	no	—
48	#389	—	4	1	no	—
49	#384	—	2	1	no	—
50	#380	—	2	2	no	—
51	#380	—	4	1	no	—
52	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
53	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
54	C₄⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	—
55	#340	—	2	2	no	—
56	#340	—	2	2	no	—
57	#336	—	4	1	no	—
58	#335	—	2	2	no	—
59	#335	—	2	2	no	—
60	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
61	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
71	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
72	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
75	C₂²×C₈	Q₁₆	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
79	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
97	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
98	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
99	#107	—	2	4	no	—
100	#107	—	4	1	no	—
101	#107	—	4	1	no	—
102	#107	—	4	1	no	—
103	#107	—	4	1	no	—
104	#107	—	4	2	no	—
105	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
106	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
108	C₄×C₈	—	2	2	no	—
109	C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₄×C₈	—	2	1	no	—
111	C₄×C₈	—	2	2	no	—
112	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
114	#95	—	4	2	no	—
115	#95	—	4	2	no	—
116	C₂⁴	#102	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
119	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
120	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₄	#101	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	#103	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	D₁₆	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	SD₃₂	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	4	4	no	—
154	C₂×C₈	—	8	2	no	—
155	C₂×C₈	—	8	2	no	—
156	C₂×C₈	—	8	2	no	—
157	C₂×C₈	#103	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₈	#137	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
173	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
175	C₄²	—	2	1	no	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	#121	1	2	yes	—
180	C₄²	#135	1	2	yes	—
181	C₁₆	—	4	4	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	1	no	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	—	2	1	no	—
186	C₂³	#332	1	2	yes	—
187	C₂³	#357	1	2	yes	—
188	C₂³	#362	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
190	Q₈	—	16	2	no	—
191	Q₈	—	16	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂×C₄	—	8	2	no	—
212	C₂×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂×C₄	—	8	2	no	—
214	C₂×C₄	#332	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	#357	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂×#101	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#413	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	#465	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
227	C₈	—	2	2	no	—
228	C₈	—	2	2	no	—
229	C₈	—	4	1	no	—
230	C₈	—	16	2	no	—
231	C₈	#450	1	1	yes	characteristic
232	C₈	#451	1	1	yes	characteristic
233	C₈	#483	1	1	yes	characteristic
234	C₈	#484	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	2	no	—
237	C₂²	—	2	2	no	—
238	C₂²	—	2	2	no	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	2	no	—
241	C₂²	#1364	1	4	yes	complemented
242	C₂²	C₂×#332	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	#1547	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	#1893	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	C₂×#357	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	#2138	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂×#362	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	#2148	1	1	yes	characteristic
249	C₄	—	2	2	no	—
250	C₄	—	2	2	no	—
251	C₄	—	2	2	no	—
252	C₄	—	4	1	no	—
253	C₄	—	16	2	no	—
254	C₄	—	16	2	no	—
255	C₄	#1542	1	1	yes	characteristic
256	C₄	#1552	1	1	yes	characteristic
257	C₄	#1872	1	1	yes	characteristic
258	C₄	#1901	1	1	yes	characteristic
259	C₄	#2215	1	2	yes	—
260	C₄	#2217	1	2	yes	—
261	C₂	—	2	4	no	—
262	C₂	#9129	1	1	yes	characteristic
263	C₂	C₂×#1364	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#11939	1	1	yes	characteristic
265	C₂	#11981	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#11984	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#13059	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#13066	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#102
commutator	C₂²×C₈	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄×C₈	C₂³
prime radical	C₂⁴	#102
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1364	C₂	semidirect
5. #7274	C₂	semidirect
241. C₂²	#1364	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₁₆	2
#33209	2
C₂×#1364	2
#8596	2
#7274	2