Subgroups — #13813

Order 256.

1441 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#386	C₄	1	16	yes	complemented
28	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
29	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
30	C₂×#95	—	2	4	no	—
31	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
60	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
62	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄×D₄	—	2	32	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
90	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
98	#95	—	2	2	no	—
99	#95	—	2	4	no	—
100	#95	—	2	4	no	—
101	#95	—	2	4	no	—
102	#95	—	2	2	no	—
103	#95	—	2	2	no	—
104	#95	—	4	2	no	—
105	#95	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	#95	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
107	#95	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	1	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	1	no	—
113	C₂⁴	—	2	1	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	1	no	—
118	C₂⁴	—	2	1	no	—
119	C₂⁴	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	—	2	1	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	1	no	—
123	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
129	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
130	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	16	no	—
134	C₂×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂×D₄	C₄²	1	16	yes	complemented
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
212	C₄²	—	2	8	no	—
213	C₄²	—	4	8	no	—
214	C₄²	—	4	8	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	1	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	4	1	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	1	no	—
253	C₂³	—	4	1	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂³	#117	1	4	yes	—
259	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
260	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
261	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
272	D₄	—	2	32	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	16	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	32	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
351	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
360	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#518	1	2	yes	—
362	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#520	1	2	yes	—
364	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
365	C₂²	#546	1	2	yes	—
366	C₂²	#546	1	2	yes	—
367	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#547	1	2	yes	—
369	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#551	1	2	yes	—
371	C₂²	#552	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#553	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#553	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	8	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₂	—	2	8	no	—
384	C₂	—	4	4	no	—
385	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#2275	1	1	yes	characteristic
388	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#2352	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#2353	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#2358	1	2	yes	—
393	C₂	#2359	1	2	yes	—
394	C₂	#2361	1	2	yes	—
395	C₂	#2364	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
5. C₂²×#95	C₂	semidirect
6. #1437	C₂	semidirect
7. #1436	C₂	semidirect
8. #1434	C₂	semidirect
9. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
10. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
11. C₄×#95	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
27. #386	C₄	semidirect
63. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
64. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
85. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
87. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
97. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
105. #95	C₂×C₄	semidirect
106. #95	C₂×C₄	semidirect
107. #95	D₄	semidirect
135. C₂×D₄	C₄²	semidirect
211. C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
328. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
350. C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#386	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#95	2
#1437	2
#1436	2
#1434	2
C₂²⋊#95	2
C₄×#95	2