Subgroups — #13817

Order 256.

985 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 228 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
4	#1436	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1434	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×#95	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	#391	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
21	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
30	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
32	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	#95	—	2	8	no	—
61	#95	—	2	2	no	—
62	#95	—	2	4	no	—
63	#95	—	2	4	no	—
64	#95	—	4	2	no	—
65	#95	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	#95	Q₈	1	4	yes	complemented
68	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
72	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
73	C₂×Q₈	C₄²	1	16	yes	complemented
74	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
120	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
121	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
123	C₄²	—	2	16	no	—
124	C₄²	—	2	8	no	—
125	C₄²	—	2	16	no	—
126	C₄²	—	4	16	no	—
127	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
129	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
138	Q₈	—	2	32	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
184	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
185	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
186	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
192	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
194	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
195	C₂²	#519	1	2	yes	—
196	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	#520	1	2	yes	—
198	C₂²	#546	1	2	yes	—
199	C₂²	#547	1	2	yes	—
200	C₂²	#548	1	2	yes	—
201	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂²	#552	1	2	yes	—
203	C₂²	#554	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	#556	1	1	yes	characteristic
205	C₂²	#556	1	2	yes	—
206	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	#559	1	1	yes	characteristic
208	C₄	—	2	8	no	—
209	C₄	—	2	4	no	—
210	C₄	—	2	8	no	—
211	C₄	—	2	8	no	—
212	C₄	—	4	2	no	—
213	C₄	—	4	4	no	—
214	C₄	—	4	8	no	—
215	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
216	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂	C₄²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂	#2276	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
220	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂	#2355	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#2356	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#2360	1	2	yes	—
224	C₂	#2362	1	2	yes	—
225	C₂	#2365	1	2	yes	—
226	C₂	#2367	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
19. #391	C₄	semidirect
67. #95	Q₈	semidirect
73. C₂×Q₈	C₄²	semidirect
184. C₂×C₄	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#391	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
#1436	2
C₄⋊#95	2
#1434	2
C₄×#95	2