Subgroups — #13820

Order 256.

1333 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 278 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
21	#390	C₄	1	16	yes	complemented
22	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
24	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
37	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
39	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×D₄	—	2	32	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
62	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#95	—	2	4	no	—
71	#95	—	2	8	no	—
72	#95	—	2	2	no	—
73	#95	—	2	4	no	—
74	#95	—	4	2	no	—
75	#95	D₄	1	4	yes	complemented
76	C₂⁴	—	2	2	no	—
77	C₂⁴	—	2	4	no	—
78	C₂⁴	—	2	4	no	—
79	C₂⁴	—	2	2	no	—
80	C₂⁴	—	2	2	no	—
81	C₂⁴	—	2	2	no	—
82	C₂⁴	—	2	2	no	—
83	C₂⁴	—	2	4	no	—
84	C₂⁴	—	2	2	no	—
85	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×D₄	—	2	8	no	—
89	C₂×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂×D₄	—	2	16	no	—
91	C₂×D₄	—	2	16	no	—
92	C₂×D₄	C₄²	1	16	yes	complemented
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
140	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
141	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
142	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
144	C₄²	—	2	8	no	—
145	C₄²	—	2	16	no	—
146	C₄²	—	4	16	no	—
147	C₂³	—	2	4	no	—
148	C₂³	—	2	4	no	—
149	C₂³	—	2	8	no	—
150	C₂³	—	2	4	no	—
151	C₂³	—	2	8	no	—
152	C₂³	—	2	8	no	—
153	C₂³	—	2	4	no	—
154	C₂³	—	2	8	no	—
155	C₂³	—	2	8	no	—
156	C₂³	—	2	4	no	—
157	C₂³	—	2	4	no	—
158	C₂³	—	2	8	no	—
159	C₂³	—	4	4	no	—
160	C₂³	—	4	4	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	—	4	4	no	—
163	C₂³	—	4	4	no	—
164	C₂³	—	4	2	no	—
165	C₂³	—	4	4	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	4	4	no	—
169	C₂³	C₂×C₄²	1	8	yes	—
170	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
172	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
178	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
179	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
180	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
181	D₄	—	2	32	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	32	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
222	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
223	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
224	C₂²	—	2	8	no	—
225	C₂²	—	2	8	no	—
226	C₂²	—	2	8	no	—
227	C₂²	—	4	4	no	—
228	C₂²	—	4	4	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	4	8	no	—
232	C₂²	—	4	8	no	—
233	C₂²	—	4	8	no	—
234	C₂²	—	4	8	no	—
235	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
244	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	#518	1	2	yes	—
246	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	#520	1	2	yes	—
248	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
249	C₂²	#546	1	2	yes	—
250	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#548	1	2	yes	—
252	C₂²	#550	1	2	yes	—
253	C₂²	#550	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#553	1	2	yes	—
255	C₂²	#555	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	#556	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#559	1	2	yes	—
258	C₄	—	2	4	no	—
259	C₄	—	2	8	no	—
260	C₄	—	2	8	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	—	4	8	no	—
264	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
265	C₂	—	4	8	no	—
266	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#2275	1	1	yes	characteristic
269	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#2341	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#2354	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#2357	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#2361	1	2	yes	—
274	C₂	#2363	1	2	yes	—
275	C₂	#2366	1	2	yes	—
276	C₂	#2367	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
5. #1437	C₂	semidirect
6. C₄⋊#95	C₂	semidirect
7. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
8. C₄×#95	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
21. #390	C₄	semidirect
52. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
75. #95	D₄	semidirect
92. C₂×D₄	C₄²	semidirect
140. C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
223. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
264. C₄	C₄×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#390	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1437	2
C₄⋊#95	2
C₂²⋊#95	2
C₄×#95	2