Subgroups — #13867

Order 256.

3575 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1438	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
11	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
12	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
13	C₂³×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#386	—	2	16	no	—
27	#379	—	2	4	no	—
28	#379	—	2	8	no	—
29	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂⁵	—	2	4	no	—
31	C₂⁵	—	2	8	no	—
32	C₂⁵	—	2	8	no	—
33	C₂⁵	—	2	2	no	—
34	C₂⁵	—	2	2	no	—
35	C₂⁵	—	2	4	no	—
36	C₂⁵	—	2	4	no	—
37	C₂⁵	—	2	4	no	—
38	C₂⁵	—	4	4	no	—
39	C₂⁵	—	4	4	no	—
40	C₂⁵	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂⁵	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
42	C₂⁵	D₄	1	4	yes	—
43	C₂⁵	D₄	1	4	yes	—
44	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂²×D₄	D₄	1	16	yes	—
62	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
69	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
89	#95	—	2	16	no	—
90	C₂⁴	—	2	2	no	—
91	C₂⁴	—	2	4	no	—
92	C₂⁴	—	2	2	no	—
93	C₂⁴	—	2	4	no	—
94	C₂⁴	—	2	4	no	—
95	C₂⁴	—	2	16	no	—
96	C₂⁴	—	2	16	no	—
97	C₂⁴	—	2	16	no	—
98	C₂⁴	—	2	8	no	—
99	C₂⁴	—	2	16	no	—
100	C₂⁴	—	2	16	no	—
101	C₂⁴	—	2	8	no	—
102	C₂⁴	—	2	16	no	—
103	C₂⁴	—	2	16	no	—
104	C₂⁴	—	2	16	no	—
105	C₂⁴	—	2	8	no	—
106	C₂⁴	—	2	2	no	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	4	no	—
111	C₂⁴	—	2	4	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	8	no	—
116	C₂⁴	—	2	16	no	—
117	C₂⁴	—	4	8	no	—
118	C₂⁴	—	4	8	no	—
119	C₂⁴	—	4	8	no	—
120	C₂⁴	—	4	8	no	—
121	C₂⁴	—	4	32	no	—
122	C₂⁴	—	4	32	no	—
123	C₂⁴	—	4	32	no	—
124	C₂⁴	—	4	32	no	—
125	C₂⁴	—	4	8	no	—
126	C₂⁴	—	4	8	no	—
127	C₂⁴	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	—	4	8	no	—
129	C₂⁴	—	4	4	no	—
130	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
131	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
145	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂×D₄	—	2	256	no	—
147	C₂×D₄	—	2	32	no	—
148	C₂×D₄	—	2	32	no	—
149	C₂×D₄	—	2	16	no	—
150	C₂×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂×D₄	—	2	16	no	—
152	C₂×D₄	—	2	16	no	—
153	C₂×D₄	—	2	32	no	—
154	C₂×D₄	—	2	32	no	—
155	C₂×D₄	—	2	16	no	—
156	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
157	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
180	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	4	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	16	no	—
200	C₂³	—	2	16	no	—
201	C₂³	—	2	16	no	—
202	C₂³	—	2	16	no	—
203	C₂³	—	2	32	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	8	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	16	no	—
221	C₂³	—	2	16	no	—
222	C₂³	—	2	32	no	—
223	C₂³	—	2	32	no	—
224	C₂³	—	4	16	no	—
225	C₂³	—	4	64	no	—
226	C₂³	—	4	64	no	—
227	C₂³	—	4	32	no	—
228	C₂³	—	4	32	no	—
229	C₂³	—	4	64	no	—
230	C₂³	—	4	16	no	—
231	C₂³	—	4	32	no	—
232	C₂³	—	4	32	no	—
233	C₂³	—	4	64	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	4	8	no	—
243	C₂³	—	4	16	no	—
244	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
247	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
249	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
250	C₂³	#120	1	8	yes	—
251	C₂³	#120	1	8	yes	—
252	C₂³	#120	1	4	yes	—
253	C₂³	#121	1	8	yes	—
254	C₂³	#123	1	4	yes	—
255	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
262	D₄	—	2	64	no	—
263	D₄	—	2	64	no	—
264	C₂×C₄	—	2	32	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	32	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	—	2	16	no	—
284	C₂²	—	2	16	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	2	8	no	—
289	C₂²	—	2	16	no	—
290	C₂²	—	2	16	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	16	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	4	64	no	—
299	C₂²	—	4	64	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	8	no	—
302	C₂²	—	4	8	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	8	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	8	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	#379	1	8	yes	complemented
311	C₂²	#386	1	8	yes	complemented
312	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
315	C₂²	#518	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#534	1	2	yes	—
322	C₂²	#534	1	2	yes	—
323	C₂²	D₄²	1	8	yes	—
324	C₂²	#546	1	8	yes	—
325	C₄	—	2	8	no	—
326	C₄	—	4	8	no	—
327	C₄	—	8	4	no	—
328	C₂	—	2	8	no	—
329	C₂	—	2	8	no	—
330	C₂	—	4	4	no	—
331	C₂	—	4	8	no	—
332	C₂	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#2308	1	1	yes	characteristic
335	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
336	C₂	#2403	1	2	yes	—
337	C₂	#2405	1	2	yes	—
338	C₂	#2410	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
3. C₂×#386	C₂	semidirect
4. C₂×#379	C₂	semidirect
5. C₂×#379	C₂	semidirect
6. #1438	C₂	semidirect
7. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
13. C₂³×D₄	C₄	semidirect
17. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
22. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂×#95	C₂²	semidirect
41. C₂⁵	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
69. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
130. C₂⁴	C₂²⋊C₄	semidirect
156. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect
179. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
248. C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
280. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
310. C₂²	#379	semidirect
311. C₂²	#386	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₄	2
C₂³×C₂²⋊C₄	2
C₂×#386	2
C₂×#379	2
#1438	2
C₂²⋊#95	2