Subgroups — #13877

Order 256.

2023 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
13	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
14	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
15	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#385	—	2	8	no	—
27	#380	—	2	8	no	—
28	#379	—	2	4	no	—
29	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂⁵	—	2	4	no	—
33	C₂⁵	—	2	4	no	—
34	C₂⁵	—	2	4	no	—
35	C₂⁵	—	2	4	no	—
36	C₂⁵	—	4	4	no	—
37	C₂⁵	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂⁵	D₄	1	4	yes	—
39	C₂⁵	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
83	#95	—	2	8	no	—
84	#95	—	2	8	no	—
85	#95	—	4	4	no	—
86	C₂⁴	—	2	2	no	—
87	C₂⁴	—	2	2	no	—
88	C₂⁴	—	2	2	no	—
89	C₂⁴	—	2	2	no	—
90	C₂⁴	—	2	4	no	—
91	C₂⁴	—	2	4	no	—
92	C₂⁴	—	2	8	no	—
93	C₂⁴	—	2	8	no	—
94	C₂⁴	—	2	16	no	—
95	C₂⁴	—	2	8	no	—
96	C₂⁴	—	2	16	no	—
97	C₂⁴	—	2	16	no	—
98	C₂⁴	—	2	16	no	—
99	C₂⁴	—	2	8	no	—
100	C₂⁴	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	—	2	2	no	—
102	C₂⁴	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	4	no	—
105	C₂⁴	—	4	8	no	—
106	C₂⁴	—	4	8	no	—
107	C₂⁴	—	4	8	no	—
108	C₂⁴	—	4	16	no	—
109	C₂⁴	—	4	16	no	—
110	C₂⁴	—	4	16	no	—
111	C₂⁴	—	4	16	no	—
112	C₂⁴	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
113	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
124	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
125	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	2	8	no	—
190	C₂³	—	2	8	no	—
191	C₂³	—	2	8	no	—
192	C₂³	—	2	8	no	—
193	C₂³	—	2	8	no	—
194	C₂³	—	2	8	no	—
195	C₂³	—	2	8	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	32	no	—
208	C₂³	—	2	32	no	—
209	C₂³	—	4	16	no	—
210	C₂³	—	4	32	no	—
211	C₂³	—	4	32	no	—
212	C₂³	—	4	32	no	—
213	C₂³	—	4	32	no	—
214	C₂³	—	4	64	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	4	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	—	4	4	no	—
219	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂³	#117	1	4	yes	—
224	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
225	C₂³	#120	1	4	yes	—
226	C₂³	#121	1	8	yes	—
227	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
228	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
229	C₂³	#123	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	32	no	—
249	C₂×C₄	—	4	32	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	—	2	8	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	8	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	2	8	no	—
277	C₂²	—	2	16	no	—
278	C₂²	—	2	16	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	4	64	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	#380	1	8	yes	complemented
291	C₂²	#385	1	8	yes	complemented
292	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²	#518	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#534	1	2	yes	—
303	C₂²	#543	1	2	yes	—
304	C₂²	D₄²	1	4	yes	—
305	C₂²	#546	1	4	yes	—
306	C₂²	#546	1	4	yes	—
307	C₂²	#551	1	4	yes	—
308	C₄	—	2	8	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	4	8	no	—
311	C₄	—	8	2	no	—
312	C₄	—	8	2	no	—
313	C₂	—	2	8	no	—
314	C₂	—	2	8	no	—
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#2315	1	1	yes	characteristic
319	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
320	C₂	#2342	1	2	yes	—
321	C₂	#2410	1	2	yes	—
322	C₂	#2412	1	2	yes	—
323	C₂	#2437	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#385	C₂	semidirect
4. C₂×#380	C₂	semidirect
6. #1439	C₂	semidirect
7. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
8. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
16. C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
29. C₂×#95	C₂²	semidirect
30. C₂×#95	C₂²	semidirect
31. C₂×#95	C₂²	semidirect
52. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
112. C₂⁴	C₄⋊C₄	semidirect
173. C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
266. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
290. C₂²	#380	semidirect
291. C₂²	#385	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊C₄	2
C₂×#385	2
C₂×#380	2
C₂×#379	2
#1439	2
C₂²⋊#95	2