Subgroups — #13912

Order 256.

1157 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1438	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#388	—	2	8	no	—
28	#381	—	2	4	no	—
29	#380	—	2	4	no	—
30	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
54	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
55	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×D₄	—	2	32	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
92	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#95	—	2	2	no	—
94	#95	—	2	4	no	—
95	#95	—	2	2	no	—
96	#95	—	2	4	no	—
97	#95	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	4	no	—
99	#95	—	2	2	no	—
100	#95	—	2	4	no	—
101	#95	—	4	2	no	—
102	#95	D₄	1	4	yes	complemented
103	C₂⁴	—	2	1	no	—
104	C₂⁴	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	2	2	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	1	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	2	1	no	—
112	C₂⁴	—	2	1	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	1	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	1	no	—
119	C₂⁴	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
124	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×D₄	—	2	16	no	—
127	C₂×D₄	—	2	16	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
202	C₄²	—	2	8	no	—
203	C₄²	—	4	8	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	1	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	1	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	1	no	—
246	C₂³	—	4	1	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂³	#117	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
261	D₄	—	2	32	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	16	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#525	1	2	yes	—
347	C₂²	#525	1	2	yes	—
348	C₂²	#529	1	2	yes	—
349	C₂²	#532	1	2	yes	—
350	C₂²	#540	1	2	yes	—
351	C₂²	#542	1	2	yes	—
352	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
353	C₂²	#546	1	2	yes	—
354	C₂²	#546	1	2	yes	—
355	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#547	1	2	yes	—
357	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#551	1	2	yes	—
359	C₂²	#552	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#553	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#553	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	4	4	no	—
373	C₂	#2280	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#2293	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#2319	1	1	yes	characteristic
376	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#2352	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#2353	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#2457	1	2	yes	—
381	C₂	#2461	1	2	yes	—
382	C₂	#2464	1	2	yes	—
383	C₂	#2468	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#388	C₂	semidirect
3. C₂×#381	C₂	semidirect
4. C₂×#380	C₂	semidirect
5. #1441	C₂	semidirect
7. #1437	C₂	semidirect
8. #1434	C₂	semidirect
9. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
10. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
11. C₄×#95	C₂	semidirect
16. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
102. #95	D₄	semidirect
201. C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#388	2
C₂×#381	2
C₂×#380	2
#1441	2
#1438	2
#1437	2
#1434	2
C₂²⋊#95	2
C₄×#95	2