Subgroups — #14017

Order 256.

905 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1444	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1442	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1436	C₂	1	2	yes	maximal
9	#1436	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#391	—	2	4	no	—
28	#391	C₄	1	8	yes	complemented
29	#389	—	2	4	no	—
30	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	complemented
82	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
94	#95	—	2	2	no	—
95	#95	—	2	2	no	—
96	#95	—	2	4	no	—
97	#95	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	4	no	—
99	#95	—	2	4	no	—
100	#95	—	2	4	no	—
101	#95	—	4	2	no	—
102	#95	—	4	2	no	—
103	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
104	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₄²	—	2	16	no	—
198	C₄²	—	2	8	no	—
199	C₄²	—	2	8	no	—
200	C₄²	—	4	4	no	—
201	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	—	2	32	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	complemented
289	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
294	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#533	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#541	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#542	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#550	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#556	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#556	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	Q₈²	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#559	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	#385	1	8	yes	—
340	C₂	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₄×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#2323	1	1	yes	characteristic
343	C₂	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#2351	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#2365	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#2367	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#2407	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#2409	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#2446	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#2448	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#2451	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#2453	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#2581	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#2582	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
28. #391	C₄	semidirect
81. C₂×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect
112. C₂×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
288. C₂×C₄	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#391	2
C₂×#389	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
#1444	2
#1442	2
#1436	2
C₄⋊#95	2