Subgroups — #14026

Order 256.

1179 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#124	—	2	4	no	—
13	C₂×#124	—	2	4	no	—
14	C₂×#124	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#391	—	2	4	no	—
30	#390	—	2	4	no	—
31	#390	—	2	4	no	—
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	—
43	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#124	—	2	32	no	—
60	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
92	#95	—	2	8	no	—
93	#95	—	2	4	no	—
94	#95	—	2	4	no	—
95	#95	—	4	4	no	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	—	2	2	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	4	no	—
101	C₂⁴	—	2	4	no	—
102	C₂⁴	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	4	no	—
105	C₂⁴	—	2	4	no	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
115	C₂×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂×D₄	—	4	4	no	—
120	C₂×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₄²	—	2	16	no	—
178	C₄²	—	2	8	no	—
179	C₄²	—	2	8	no	—
180	C₄²	—	4	4	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	2	8	no	—
186	C₂³	—	4	2	no	—
187	C₂³	—	4	2	no	—
188	C₂³	—	4	2	no	—
189	C₂³	—	4	2	no	—
190	C₂³	—	4	2	no	—
191	C₂³	—	4	4	no	—
192	C₂³	—	4	2	no	—
193	C₂³	—	4	2	no	—
194	C₂³	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	4	4	no	—
196	C₂³	—	4	4	no	—
197	C₂³	—	4	4	no	—
198	C₂³	—	4	4	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	4	no	—
201	C₂³	—	4	4	no	—
202	C₂³	—	4	4	no	—
203	C₂³	—	4	4	no	—
204	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
212	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
214	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
215	Q₈	—	2	32	no	—
216	D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	#124	1	4	yes	complemented
265	C₂²	—	4	4	no	—
266	C₂²	—	4	8	no	—
267	C₂²	—	4	8	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	8	4	no	—
271	C₂²	—	8	2	no	—
272	C₂²	—	8	2	no	—
273	C₂²	—	8	4	no	—
274	C₂²	—	8	2	no	—
275	C₂²	—	8	2	no	—
276	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
280	C₂²	#520	1	2	yes	—
281	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#529	1	2	yes	—
287	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#542	1	2	yes	—
291	C₂²	#546	1	2	yes	—
292	C₂²	#548	1	2	yes	—
293	C₂²	#548	1	2	yes	—
294	C₂²	#548	1	2	yes	—
295	C₂²	#550	1	2	yes	—
296	C₂²	#550	1	2	yes	—
297	C₂²	#556	1	2	yes	—
298	C₂²	#559	1	2	yes	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	—	8	2	no	—
306	C₄	#386	1	8	yes	—
307	C₂	—	8	4	no	—
308	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#2326	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#2341	1	2	yes	—
312	C₂	#2367	1	2	yes	—
313	C₂	#2426	1	2	yes	—
314	C₂	#2431	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#2436	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#2448	1	2	yes	—
317	C₂	#2545	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#2548	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#391	C₂	semidirect
6. #1439	C₂	semidirect
7. #1437	C₂	semidirect
8. C₄⋊#95	C₂	semidirect
9. C₄×#95	C₂	semidirect
14. C₂×#124	C₄	semidirect
114. C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
264. C₂×C₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#391	2
C₂×#390	2
#1439	2
#1437	2
C₄⋊#95	2
C₄×#95	2