Subgroups — #14135

Order 256.

1317 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#123	—	2	4	no	—
14	C₂×#123	—	2	4	no	—
15	C₂×#123	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#117	—	2	4	no	—
17	C₂×#117	—	2	8	no	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
27	#386	—	2	8	no	—
28	C₂×#95	—	2	4	no	—
29	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
47	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#123	—	2	32	no	—
59	#117	—	2	32	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
82	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
83	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
85	#95	—	2	4	no	—
86	#95	—	2	4	no	—
87	#95	—	2	8	no	—
88	#95	—	2	8	no	—
89	#95	—	4	4	no	—
90	C₂⁴	—	2	4	no	—
91	C₂⁴	—	2	2	no	—
92	C₂⁴	—	2	2	no	—
93	C₂⁴	—	2	1	no	—
94	C₂⁴	—	2	1	no	—
95	C₂⁴	—	2	2	no	—
96	C₂⁴	—	2	4	no	—
97	C₂⁴	—	2	2	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
106	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂×D₄	—	4	4	no	—
110	C₂×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
160	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₄²	—	2	16	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	4	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	2	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	8	no	—
178	C₂³	—	2	8	no	—
179	C₂³	—	2	8	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	2	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	—	4	2	no	—
188	C₂³	—	4	2	no	—
189	C₂³	—	4	1	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	2	no	—
192	C₂³	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	4	4	no	—
195	C₂³	—	4	4	no	—
196	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
198	C₂³	#120	1	4	yes	—
199	C₂³	#121	1	8	yes	—
200	C₂³	#123	1	4	yes	—
201	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
207	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
208	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
209	D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	32	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	4	32	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	2	16	no	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	8	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	2	8	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	8	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	8	2	no	—
262	C₂²	—	8	2	no	—
263	C₂²	—	8	2	no	—
264	C₂²	—	8	2	no	—
265	C₂²	#386	1	8	yes	—
266	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
269	C₂²	#520	1	2	yes	—
270	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
272	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#525	1	2	yes	—
274	C₂²	#532	1	2	yes	—
275	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	#537	1	2	yes	—
278	C₂²	#546	1	4	yes	—
279	C₂²	#547	1	4	yes	—
280	C₂²	#551	1	4	yes	—
281	C₂²	#552	1	4	yes	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	2	4	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	4	8	no	—
286	C₄	—	4	8	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₂	—	2	8	no	—
290	C₂	—	8	2	no	—
291	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#2297	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#2311	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#2359	1	4	yes	—
295	C₂	#2411	1	2	yes	—
296	C₂	#2413	1	2	yes	—
297	C₂	#2430	1	2	yes	—
298	C₂	#2498	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
4. C₂²×#95	C₂	semidirect
5. #1441	C₂	semidirect
6. #1439	C₂	semidirect
7. #1437	C₂	semidirect
8. #1436	C₂	semidirect
9. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
15. C₂×#123	C₄	semidirect
66. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
81. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
148. C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
C₂²×#117	2
C₂×#386	2
C₂²×#95	2
#1441	2
#1439	2
#1437	2
#1436	2
C₂²⋊#95	2