Subgroups — #14137

Order 256.

1579 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 277 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#121	—	2	4	no	—
13	C₂×#121	—	2	4	no	—
14	C₂×#121	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
24	#390	—	2	8	no	—
25	#386	—	2	16	no	—
26	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
27	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
34	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
41	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
46	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#121	—	2	32	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
74	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
77	#95	—	2	4	no	—
78	#95	—	2	16	no	—
79	C₂⁴	—	2	2	no	—
80	C₂⁴	—	2	2	no	—
81	C₂⁴	—	2	2	no	—
82	C₂⁴	—	2	2	no	—
83	C₂⁴	—	2	4	no	—
84	C₂⁴	—	2	4	no	—
85	C₂⁴	—	2	2	no	—
86	C₂⁴	—	2	2	no	—
87	C₂⁴	—	2	4	no	—
88	C₂⁴	—	2	4	no	—
89	C₂⁴	—	2	4	no	—
90	C₂⁴	—	2	4	no	—
91	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
97	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×D₄	—	2	16	no	—
99	C₂×D₄	—	2	32	no	—
100	C₂×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂×D₄	—	2	16	no	—
102	C₂×D₄	—	4	16	no	—
103	C₂×D₄	—	4	8	no	—
104	C₂×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
144	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
150	C₄²	—	4	8	no	—
151	C₂³	—	2	4	no	—
152	C₂³	—	2	4	no	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	4	no	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	4	no	—
159	C₂³	—	2	8	no	—
160	C₂³	—	2	8	no	—
161	C₂³	—	2	8	no	—
162	C₂³	—	2	8	no	—
163	C₂³	—	2	4	no	—
164	C₂³	—	2	8	no	—
165	C₂³	—	2	8	no	—
166	C₂³	—	2	8	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	4	4	no	—
169	C₂³	—	4	4	no	—
170	C₂³	—	4	2	no	—
171	C₂³	—	4	2	no	—
172	C₂³	—	4	2	no	—
173	C₂³	—	4	2	no	—
174	C₂³	—	4	2	no	—
175	C₂³	—	4	4	no	—
176	C₂³	—	4	8	no	—
177	C₂³	—	4	8	no	—
178	C₂³	—	4	8	no	—
179	C₂³	—	4	8	no	—
180	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
182	C₂³	#121	1	8	yes	—
183	C₂³	#124	1	4	yes	—
184	C₂³	#127	1	4	yes	—
185	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
192	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
193	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
194	D₄	—	4	32	no	—
195	D₄	—	4	16	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	4	32	no	—
209	C₂×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
222	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	#121	1	8	yes	—
224	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
225	C₂²	—	2	4	no	—
226	C₂²	—	2	16	no	—
227	C₂²	—	2	16	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	4	16	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	4	no	—
237	C₂²	—	8	8	no	—
238	C₂²	—	8	2	no	—
239	C₂²	—	8	2	no	—
240	C₂²	—	8	2	no	—
241	C₂²	—	8	2	no	—
242	C₂²	#390	1	8	yes	complemented
243	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²	#520	1	2	yes	—
247	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
249	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
250	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	#537	1	2	yes	—
256	C₂²	D₄²	1	4	yes	—
257	C₂²	#547	1	4	yes	—
258	C₂²	#548	1	4	yes	—
259	C₂²	#553	1	4	yes	—
260	C₄	—	2	4	no	—
261	C₄	—	4	8	no	—
262	C₄	—	4	8	no	—
263	C₄	—	4	4	no	—
264	C₄	#386	1	8	yes	complemented
265	C₂	—	2	8	no	—
266	C₂	—	8	4	no	—
267	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#2311	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#2361	1	4	yes	—
271	C₂	#2416	1	4	yes	—
272	C₂	#2433	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#2436	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#2501	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#2504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
3. C₂×#390	C₂	semidirect
4. C₂×#386	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
6. #1439	C₂	semidirect
7. C₄⋊#95	C₂	semidirect
14. C₂×#121	C₄	semidirect
40. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
72. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
132. C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
242. C₂²	#390	semidirect
264. C₄	#386	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
C₂×#390	2
C₂×#386	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1439	2
C₄⋊#95	2