Subgroups — #14228

Order 256.

1231 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#392	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1439	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#392	C₄	1	8	yes	complemented
29	#390	—	2	8	no	—
30	#390	—	2	4	no	—
31	#388	—	2	8	no	—
32	#386	—	2	8	no	—
33	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
34	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
52	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
53	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
59	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	complemented
105	#95	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	2	no	—
107	#95	—	2	4	no	—
108	#95	—	2	4	no	—
109	#95	—	2	2	no	—
110	#95	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
111	#95	D₄	1	8	yes	complemented
112	C₂⁴	—	2	1	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	1	no	—
116	C₂⁴	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	2	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	C₂⁴	—	2	2	no	—
125	C₂⁴	—	2	2	no	—
126	C₂⁴	—	2	2	no	—
127	C₂⁴	—	2	2	no	—
128	C₂⁴	—	2	2	no	—
129	C₂⁴	—	2	2	no	—
130	C₂⁴	—	2	2	no	—
131	C₂⁴	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₄	—	2	16	no	—
140	C₂×D₄	—	2	16	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	4	8	no	—
143	C₂×D₄	—	4	8	no	—
144	C₂×D₄	—	4	8	no	—
145	C₂×D₄	—	4	8	no	—
146	C₂×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂×D₄	—	4	8	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	—	4	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₄²	—	4	4	no	—
218	C₄²	—	4	8	no	—
219	C₄²	—	4	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	—	4	1	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	1	no	—
243	C₂³	—	4	1	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	4	2	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	D₄	—	4	32	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#127	1	4	yes	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#518	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#532	1	2	yes	—
380	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#534	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#538	1	2	yes	—
384	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
385	C₂²	#546	1	2	yes	—
386	C₂²	#546	1	2	yes	—
387	C₂²	#546	1	2	yes	—
388	C₂²	#550	1	2	yes	—
389	C₂²	#551	1	2	yes	—
390	C₂²	#553	1	2	yes	—
391	C₂²	#555	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	8	no	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	—	4	4	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₂	—	4	4	no	—
402	C₂	—	8	4	no	—
403	C₂	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#2321	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#2358	1	2	yes	—
407	C₂	#2363	1	2	yes	—
408	C₂	#2539	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#2541	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#2543	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#2554	1	2	yes	—
412	C₂	#2555	1	2	yes	—
413	C₂	#2610	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#392	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#390	C₂	semidirect
3. C₂×#390	C₂	semidirect
4. C₂×#388	C₂	semidirect
5. C₂×#386	C₂	semidirect
6. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #1444	C₂	semidirect
8. #1439	C₂	semidirect
9. #1438	C₂	semidirect
10. #1437	C₂	semidirect
11. C₄×#95	C₂	semidirect
28. #392	C₄	semidirect
54. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
97. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
104. C₂×C₄²	D₄	semidirect
110. #95	C₂×C₄	semidirect
111. #95	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#392	2
C₂×#390	2
C₂×#388	2
C₂×#386	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1444	2
#1439	2
#1438	2
#1437	2
C₄×#95	2