Subgroups — #14240

Order 256.

819 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#399	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1445	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1439	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#1437	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
23	#399	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
25	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
40	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
74	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
78	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
80	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
81	#95	—	2	2	no	—
82	#95	—	2	2	no	—
83	#95	—	2	4	no	—
84	#95	—	2	4	no	—
85	#95	—	2	4	no	—
86	#95	—	2	4	no	—
87	#95	—	2	4	no	—
88	#95	—	2	2	no	—
89	#95	—	4	2	no	—
90	#95	—	4	2	no	—
91	#95	—	4	2	no	—
92	#95	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
93	C₂⁴	—	2	1	no	—
94	C₂⁴	—	2	1	no	—
95	C₂⁴	—	2	1	no	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	—	2	1	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
104	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₄²	—	2	8	no	—
176	C₄²	—	4	8	no	—
177	C₄²	—	4	4	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	2	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	—	4	2	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	—	4	1	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	2	no	—
197	C₂³	—	4	2	no	—
198	C₂³	—	4	2	no	—
199	C₂³	—	4	2	no	—
200	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
201	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
285	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#518	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	#529	1	2	yes	—
293	C₂²	#533	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#540	1	2	yes	—
297	C₂²	#551	1	2	yes	—
298	C₂²	#551	1	2	yes	—
299	C₂²	#551	1	2	yes	—
300	C₂²	#553	1	2	yes	—
301	C₂²	#553	1	2	yes	—
302	C₂²	#554	1	2	yes	—
303	C₂²	#554	1	2	yes	—
304	C₂²	#559	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	2	4	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	4	4	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	8	2	no	—
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	C₄×#123	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₄×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#2328	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#2368	1	2	yes	—
320	C₂	#2374	1	2	yes	—
321	C₂	#2482	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#2487	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#2516	1	2	yes	—
324	C₂	#2522	1	2	yes	—
325	C₂	#2580	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#2598	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #1445	C₂	semidirect
5. #1442	C₂	semidirect
8. #1436	C₂	semidirect
9. #1436	C₂	semidirect
10. #1434	C₂	semidirect
23. #399	C₄	semidirect
60. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
92. #95	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#399	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1445	2
#1442	2
#1439	2
#1437	2
#1436	2
#1434	2
C₂²⋊#95	2