Subgroups — #14358

Order 256.

1769 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#120	—	2	8	no	—
14	C₂×#120	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#390	—	2	8	no	—
29	#388	—	2	8	no	—
30	#379	—	2	8	no	—
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂⁵	—	2	4	no	—
37	C₂⁵	—	2	4	no	—
38	C₂⁵	—	2	4	no	—
39	C₂⁵	—	4	2	no	—
40	C₂⁵	—	4	2	no	—
41	C₂⁵	—	4	1	no	—
42	C₂⁵	—	4	1	no	—
43	C₂⁵	—	4	2	no	—
44	C₂⁵	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
57	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	#120	—	2	32	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
103	#95	—	2	4	no	—
104	#95	—	2	4	no	—
105	#95	—	4	1	no	—
106	#95	—	4	2	no	—
107	#95	—	4	1	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	2	no	—
123	C₂⁴	—	2	1	no	—
124	C₂⁴	—	2	1	no	—
125	C₂⁴	—	2	2	no	—
126	C₂⁴	—	2	2	no	—
127	C₂⁴	—	2	8	no	—
128	C₂⁴	—	2	16	no	—
129	C₂⁴	—	2	2	no	—
130	C₂⁴	—	2	2	no	—
131	C₂⁴	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	2	1	no	—
135	C₂⁴	—	2	1	no	—
136	C₂⁴	—	2	2	no	—
137	C₂⁴	—	4	4	no	—
138	C₂⁴	—	4	8	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	—	4	4	no	—
141	C₂⁴	—	4	8	no	—
142	C₂⁴	—	4	8	no	—
143	C₂⁴	—	4	8	no	—
144	C₂⁴	—	4	8	no	—
145	C₂⁴	—	4	8	no	—
146	C₂⁴	—	4	4	no	—
147	C₂⁴	—	4	8	no	—
148	C₂⁴	—	4	8	no	—
149	C₂⁴	—	4	8	no	—
150	C₂⁴	—	4	8	no	—
151	C₂⁴	—	4	8	no	—
152	C₂⁴	—	4	8	no	—
153	C₂⁴	—	4	8	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	16	no	—
165	C₂×D₄	—	2	16	no	—
166	C₂×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	8	no	—
172	C₂×D₄	—	4	8	no	—
173	C₂×D₄	—	4	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
227	C₄²	—	4	8	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	4	32	no	—
262	C₂³	—	4	16	no	—
263	C₂³	—	4	16	no	—
264	C₂³	—	4	32	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	32	no	—
267	C₂³	—	4	32	no	—
268	C₂³	—	4	32	no	—
269	C₂³	—	4	32	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	1	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	1	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	1	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	1	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	1	no	—
312	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
313	C₂³	C₄×D₄	1	8	yes	—
314	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
319	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
320	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
323	D₄	—	4	32	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	2	8	no	—
370	C₂²	—	4	64	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
401	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#518	1	2	yes	—
404	C₂²	#534	1	2	yes	—
405	C₂²	#535	1	2	yes	—
406	C₂²	#535	1	2	yes	—
407	C₂²	#535	1	2	yes	—
408	C₂²	#538	1	2	yes	—
409	C₂²	#538	1	2	yes	—
410	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
411	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
412	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#546	1	2	yes	—
414	C₂²	#546	1	2	yes	—
415	C₂²	#546	1	2	yes	—
416	C₂²	#551	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#560	1	2	yes	—
418	C₂²	#560	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
420	C₄	—	2	8	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₂	—	4	4	no	—
427	C₂	—	4	8	no	—
428	C₂	—	8	2	no	—
429	C₂	#2309	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#2321	1	2	yes	—
431	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
432	C₂	#2358	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#2375	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#2669	1	2	yes	—
435	C₂	#2670	1	2	yes	—
436	C₂	#2678	1	2	yes	—
437	C₂	#2685	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#120	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#390	C₂	semidirect
3. C₂×#388	C₂	semidirect
4. C₂×#379	C₂	semidirect
5. #1439	C₂	semidirect
6. #1438	C₂	semidirect
7. #1438	C₂	semidirect
8. #1438	C₂	semidirect
9. #1437	C₂	semidirect
14. C₂×#120	C₄	semidirect
15. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
31. C₂×#95	C₂²	semidirect
32. C₂×#95	C₂²	semidirect
33. C₂×#95	C₂²	semidirect
34. C₂×#95	C₂²	semidirect
35. C₂×#95	C₂²	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
226. C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#120	2
C₂×#390	2
C₂×#388	2
C₂×#379	2
#1439	2
#1438	2
#1437	2