Subgroups — #14417

Order 256.

1301 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1445	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#121	—	2	8	no	—
15	C₂×#121	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#386	—	2	8	no	—
25	#386	—	2	8	no	—
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
42	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
43	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
44	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
54	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
55	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
56	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
57	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
58	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
60	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#121	—	2	32	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
92	#95	—	2	4	no	—
93	#95	—	2	4	no	—
94	#95	—	2	4	no	—
95	#95	—	2	4	no	—
96	#95	—	4	1	no	—
97	#95	—	4	2	no	—
98	#95	—	4	2	no	—
99	#95	—	4	1	no	—
100	#95	—	4	2	no	—
101	C₂⁴	—	2	2	no	—
102	C₂⁴	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	2	2	no	—
107	C₂⁴	—	2	1	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	1	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂⁴	#41	1	2	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×D₄	—	2	16	no	—
129	C₂×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	—	4	8	no	—
133	C₂×D₄	—	4	8	no	—
134	C₂×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
197	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	4	2	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
262	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
274	D₄	—	4	16	no	—
275	D₄	—	4	32	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	32	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#534	1	2	yes	—
357	C₂²	#534	1	2	yes	—
358	C₂²	#534	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#538	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#538	1	2	yes	—
362	C₂²	#539	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#540	1	2	yes	—
364	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
365	C₂²	#546	1	2	yes	—
366	C₂²	#546	1	2	yes	—
367	C₂²	#546	1	2	yes	—
368	C₂²	#547	1	2	yes	—
369	C₂²	#553	1	2	yes	—
370	C₂²	#560	1	2	yes	—
371	C₂²	#562	1	2	yes	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	—	8	2	no	—
379	C₂	—	4	8	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	#2308	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#2325	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#2333	1	1	yes	characteristic
384	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#2364	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#2377	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#2668	1	2	yes	—
389	C₂	#2671	1	2	yes	—
390	C₂	#2688	1	2	yes	—
391	C₂	#2708	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#386	C₂	semidirect
3. C₂×#386	C₂	semidirect
4. #1445	C₂	semidirect
5. #1440	C₂	semidirect
6. #1438	C₂	semidirect
7. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
8. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
9. C₂²⋊#95	C₂	semidirect
15. C₂×#121	C₄	semidirect
47. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
60. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
91. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
139. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
C₂×#386	2
#1445	2
#1440	2
#1438	2
C₂²⋊#95	2