Subgroups — #14420

Order 256.

835 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 265 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#387	C₂	1	2	yes	maximal
4	#1446	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1445	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1441	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1436	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#391	—	2	8	no	—
20	#387	—	2	8	no	—
21	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
40	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
41	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#95	—	2	4	no	—
68	#95	—	2	4	no	—
69	#95	—	2	4	no	—
70	#95	—	2	4	no	—
71	#95	—	2	4	no	—
72	#95	—	2	4	no	—
73	#95	—	2	4	no	—
74	#95	—	2	4	no	—
75	#95	—	2	2	no	—
76	#95	—	2	2	no	—
77	#95	—	4	2	no	—
78	#95	—	4	2	no	—
79	#95	D₄	1	4	yes	—
80	#95	Q₈	1	4	yes	complemented
81	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
83	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
84	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
85	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
86	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
87	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
146	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
150	C₄²	—	2	8	no	—
151	C₄²	—	4	8	no	—
152	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
160	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
163	Q₈	—	4	32	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#536	1	2	yes	—
229	C₂²	#536	1	2	yes	—
230	C₂²	#536	1	2	yes	—
231	C₂²	#541	1	2	yes	—
232	C₂²	#542	1	2	yes	—
233	C₂²	#544	1	2	yes	—
234	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
235	C₂²	#546	1	2	yes	—
236	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#548	1	2	yes	—
238	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
239	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	#556	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#557	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	#563	1	2	yes	—
243	C₂²	#563	1	2	yes	—
244	C₄	—	2	4	no	—
245	C₄	—	2	8	no	—
246	C₄	—	2	4	no	—
247	C₄	—	2	4	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	—	4	4	no	—
250	C₄	—	4	4	no	—
251	C₄	—	8	2	no	—
252	C₄	—	8	2	no	—
253	C₂	#2310	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#2327	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#2331	1	1	yes	characteristic
256	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#2365	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#2381	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#2674	1	2	yes	—
261	C₂	#2677	1	2	yes	—
262	C₂	#2713	1	2	yes	—
263	C₂	#2716	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
80. #95	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×#391	2
C₂×#387	2
#1446	2
#1445	2
#1441	2
#1436	2
#1434	2