Subgroups — #146331

Order 512.

678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1382	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#405	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×C₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	#1772	—	2	4	no	—
15	#1772	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#339	—	2	2	no	—
17	#1382	C₄	1	8	yes	complemented
18	#1381	C₄	1	4	yes	complemented
19	#1380	C₄	1	4	yes	complemented
20	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
21	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
30	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×#108	—	2	2	no	—
36	C₂×#108	—	2	2	no	—
37	C₂×#108	—	2	2	no	—
38	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	#427	—	2	2	no	—
42	#427	—	2	2	no	—
43	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#106	—	2	2	no	—
47	#405	—	2	8	no	—
48	#405	—	4	4	no	—
49	C₂×#97	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
55	C₄×C₁₆	—	2	8	no	—
56	#339	—	2	8	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
58	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
63	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
64	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
65	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	Q₁₆	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
82	#117	—	2	4	no	—
83	#117	—	2	4	no	—
84	#117	—	4	2	no	—
85	#117	—	4	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
91	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×C₁₆	C₄²	1	4	yes	—
102	C₂×C₁₆	C₄²	1	4	yes	—
103	#108	—	2	4	no	—
104	#108	—	2	4	no	—
105	#108	—	2	4	no	—
106	#108	C₄²	1	8	yes	—
107	#107	—	2	4	no	—
108	#107	C₄²	1	8	yes	—
109	#106	—	2	4	no	—
110	#106	—	2	4	no	—
111	#97	—	4	8	no	—
112	C₄×C₈	—	4	8	no	—
113	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
114	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
116	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
131	M₁₆	—	2	8	no	—
132	M₁₆	—	4	4	no	—
133	M₁₆	—	4	4	no	—
134	M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂×C₈	—	4	4	no	—
137	C₂×C₈	—	4	4	no	—
138	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
139	C₂×C₈	#102	1	4	yes	—
140	C₂×C₈	#102	1	4	yes	—
141	C₂×C₈	#103	1	8	yes	—
142	C₂×C₈	#106	1	4	yes	—
143	C₂×C₈	#107	1	2	yes	—
144	C₂×C₈	#107	1	2	yes	—
145	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
149	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
155	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
156	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
163	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₄²	—	2	4	no	—
168	C₄²	—	2	2	no	—
169	C₄²	—	4	4	no	—
170	C₄²	—	4	4	no	—
171	C₄²	#95	1	4	yes	—
172	C₁₆	—	2	4	no	—
173	C₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	2	4	no	—
175	C₂³	#416	1	2	yes	—
176	C₂³	#427	1	1	yes	characteristic
177	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
179	C₂³	C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄	—	8	8	no	—
185	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	#427	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
203	C₈	—	4	8	no	—
204	C₈	#340	1	4	yes	—
205	C₈	#340	1	4	yes	—
206	C₈	C₄³	1	1	yes	characteristic
207	C₈	#376	1	1	yes	characteristic
208	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²	—	2	4	no	—
213	C₂²	—	2	4	no	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	#1735	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₄×#102	1	2	yes	—
218	C₂²	C₄×#103	1	2	yes	—
219	C₂²	C₄×#106	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₄×#107	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	#2178	1	4	yes	—
222	C₄	—	2	8	no	—
223	C₄	—	8	8	no	—
224	C₄	C₄×#95	1	1	yes	characteristic
225	C₄	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
226	C₄	C₄×#102	1	2	yes	—
227	C₄	C₄×#103	1	2	yes	—
228	C₄	C₄×#106	1	1	yes	characteristic
229	C₄	C₄×#107	1	1	yes	characteristic
230	C₂	—	2	1	no	—
231	C₂	—	2	2	no	—
232	C₂	—	2	1	no	—
233	C₂	C₄×#340	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#12641	1	4	yes	—
235	C₂	#12670	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	D₈
commutator	C₈	C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₄×D₈
prime radical	C₂⁴	#135
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂³×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₂×C₄×C₁₆	C₄	semidirect
15. #1772	C₄	semidirect
17. #1382	C₄	semidirect
18. #1381	C₄	semidirect
19. #1380	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₁₆	2
C₂×#1772	2
C₂×#1382	2
C₂×#1381	2
#12556	2