Subgroups — #146378

Order 512.

1266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#349	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#12544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂³×M₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×C₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
12	C₂²×#97	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#349	—	2	4	no	—
17	C₂×#349	—	2	4	no	—
18	C₂×#349	C₄	1	8	yes	complemented
19	#1377	—	2	4	no	—
20	#1374	—	2	4	no	—
21	C₂⁴×C₄	C₈	1	2	yes	—
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
25	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	C₈	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	C₈	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
54	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
56	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
59	C₂×#97	—	2	2	no	—
60	C₂×#97	—	2	2	no	—
61	C₂×#97	—	2	2	no	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
71	#349	—	2	16	no	—
72	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
85	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	M₁₆	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	M₁₆	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
160	M₃₂	—	2	8	no	—
161	M₃₂	—	2	8	no	—
162	M₃₂	—	4	4	no	—
163	M₃₂	—	4	4	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
165	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
166	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
167	#97	—	2	8	no	—
168	#97	—	2	8	no	—
169	C₄×C₈	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	—	2	8	no	—
171	C₂⁴	—	2	1	no	—
172	C₂⁴	—	2	1	no	—
173	C₂⁴	—	2	1	no	—
174	C₂⁴	—	2	1	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	C₄×C₈	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#97	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	2	32	no	—
243	M₁₆	—	2	16	no	—
244	M₁₆	—	2	16	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
276	C₄²	—	2	16	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₁₆	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	#336	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	32	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	#336	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#349	1	8	yes	complemented
333	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#423	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#423	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#431	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#431	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#432	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#432	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#432	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#432	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	4	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	#385	1	4	yes	—
365	C₈	#386	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#1779	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#1797	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#1797	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#1817	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#349	1	4	yes	—
388	C₄	—	2	8	no	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#1728	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#1749	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#1749	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#1779	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#1797	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#1797	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#1817	1	1	yes	characteristic
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	2	1	no	—
403	C₂	—	4	4	no	—
404	C₂	#10712	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₄×#349	1	2	yes	—
406	C₂	#12681	1	2	yes	—
407	C₂	#12785	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂⁵	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1377	C₂	semidirect
4. #12544	C₂	semidirect
18. C₂×#349	C₄	semidirect
56. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
332. C₂×C₄	#349	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂²×#349	2
C₂×#1377	2
#12544	2