Subgroups — #146404

Order 512.

888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2115	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#504	—	2	4	no	—
8	C₂×#504	—	2	4	no	—
9	C₂×#504	—	2	2	no	—
10	C₂×#504	—	2	2	no	—
11	C₂²×M₃₂	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#413	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#410	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	#2115	—	2	2	no	—
20	#2115	—	2	2	no	—
21	C₂×#349	C₄	1	4	yes	complemented
22	#1757	—	2	2	no	—
23	#1757	—	2	2	no	—
24	C₂×#344	C₄	1	2	yes	—
25	#1378	—	2	4	no	—
26	#1374	—	2	4	no	—
27	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#131	—	2	2	no	—
29	C₂×#131	—	2	2	no	—
30	C₂×#131	—	2	2	no	—
31	C₂×#131	—	2	2	no	—
32	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
34	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
35	C₂×#131	Q₈	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#504	—	2	16	no	—
43	#504	—	2	16	no	—
44	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
45	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
46	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
47	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
48	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
49	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
50	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
51	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
55	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	#413	—	2	2	no	—
69	#413	—	2	2	no	—
70	C₂×#101	C₈	1	2	yes	—
71	C₂×#100	C₈	1	2	yes	—
72	#410	—	2	2	no	—
73	#410	—	2	2	no	—
74	C₂×#99	C₈	1	4	yes	—
75	#405	—	2	2	no	—
76	#405	—	2	2	no	—
77	#405	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	#349	—	2	8	no	—
82	#344	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
90	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#131	—	2	4	no	—
97	#131	—	2	4	no	—
98	#131	—	2	4	no	—
99	#131	—	2	4	no	—
100	#131	—	2	4	no	—
101	#131	—	2	4	no	—
102	#131	—	2	4	no	—
103	#131	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	M₃₂	—	2	16	no	—
144	M₃₂	—	2	4	no	—
145	M₃₂	—	2	4	no	—
146	M₃₂	—	2	4	no	—
147	M₃₂	—	2	4	no	—
148	M₃₂	—	4	2	no	—
149	M₃₂	—	4	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
162	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	#101	—	2	4	no	—
166	#100	—	2	4	no	—
167	#99	—	2	8	no	—
168	#97	—	4	2	no	—
169	#97	—	4	2	no	—
170	C₄×C₈	—	4	2	no	—
171	C₄×C₈	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	C₄×C₈	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
174	#41	—	2	4	no	—
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	2	4	no	—
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
185	C₂×Q₈	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
191	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
193	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	#97	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
212	M₁₆	—	2	4	no	—
213	M₁₆	—	2	4	no	—
214	M₁₆	—	2	8	no	—
215	M₁₆	—	2	8	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₁₆	—	2	2	no	—
255	C₁₆	—	2	4	no	—
256	C₁₆	—	2	2	no	—
257	C₁₆	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	#336	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
267	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
268	Q₈	—	2	4	no	—
269	Q₈	—	2	4	no	—
270	D₄	—	2	8	no	—
271	D₄	—	2	8	no	—
272	D₄	—	2	4	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	#336	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#408	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	4	4	no	—
303	C₈	#379	1	1	yes	characteristic
304	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
305	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
306	C₈	#381	1	1	yes	characteristic
307	C₈	#385	1	2	yes	—
308	C₈	#386	1	2	yes	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#1850	1	2	yes	—
322	C₂²	#1869	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	8	4	no	—
325	C₄	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#1729	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#1752	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#1752	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#1850	1	2	yes	—
330	C₄	#1869	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	2	2	no	—
335	C₂	—	4	4	no	—
336	C₂	#10714	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#12613	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
socle	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂³×C₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1378	C₂	semidirect
5. #12545	C₂	semidirect
11. C₂²×M₃₂	C₄	semidirect
14. C₂³×C₁₆	C₄	semidirect
21. C₂×#349	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#504	2
C₂×#2115	2
C₂×#1757	2
C₂×#1378	2
#12545	2