Subgroups — #146748

Order 512.

1008 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2139	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×#131	—	2	1	no	—
8	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#443	—	2	4	no	—
10	C₂×#443	—	2	2	no	—
11	C₂×#443	—	2	4	no	—
12	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2139	—	2	4	no	—
18	#2139	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#358	—	2	2	no	—
20	C₂×#357	—	2	2	no	—
21	C₂×#340	—	2	1	no	—
22	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
23	#1387	—	2	4	no	—
24	#1376	—	2	2	no	—
25	C₂²×#41	—	2	1	no	—
26	C₂×#135	—	2	2	no	—
27	C₂×#135	—	2	1	no	—
28	C₂×#135	—	2	1	no	—
29	C₂×#135	—	2	2	no	—
30	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
33	C₂×#135	Q₈	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#131	—	2	8	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	—	4	4	no	—
40	C₂×#131	—	4	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	4	1	no	—
43	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
49	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
50	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
51	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
55	#443	—	2	16	no	—
56	#443	—	2	8	no	—
57	#443	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	2	no	—
59	C₂×#108	—	2	1	no	—
60	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#104	—	2	8	no	—
69	C₂×#104	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#95	—	4	2	no	—
75	#358	—	2	8	no	—
76	#357	—	2	8	no	—
77	#340	—	4	1	no	—
78	#340	—	4	1	no	—
79	C₂×#41	—	2	2	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	—	2	4	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	4	1	no	—
84	C₂×#41	—	4	2	no	—
85	C₂×#41	—	4	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	1	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	#135	—	2	2	no	—
95	#135	—	2	2	no	—
96	#135	—	2	4	no	—
97	#135	—	2	4	no	—
98	#135	—	2	4	no	—
99	#135	—	2	4	no	—
100	#135	—	2	4	no	—
101	#135	C₄²	1	4	yes	—
102	#135	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	#135	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	1	no	—
114	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	#131	—	2	16	no	—
117	#131	—	4	8	no	—
118	#131	—	4	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	M₃₂	—	2	4	no	—
155	M₃₂	—	2	4	no	—
156	M₃₂	—	4	2	no	—
157	M₃₂	—	4	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
161	#108	—	2	2	no	—
162	#108	—	2	4	no	—
163	#108	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	#107	—	2	4	no	—
165	#107	—	2	4	no	—
166	#107	—	4	2	no	—
167	#107	—	4	2	no	—
168	#104	—	2	16	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	4	no	—
172	#95	—	8	4	no	—
173	C₂⁴	—	4	1	no	—
174	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	2	8	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	#41	—	4	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	1	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
222	Q₁₆	—	2	2	no	—
223	Q₁₆	—	2	4	no	—
224	Q₁₆	#95	1	4	yes	complemented
225	SD₁₆	—	2	4	no	—
226	SD₁₆	—	2	4	no	—
227	SD₁₆	—	2	8	no	—
228	D₈	—	2	2	no	—
229	D₈	—	2	4	no	—
230	D₈	#95	1	4	yes	complemented
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	4	16	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	16	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	#102	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#102	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₁₆	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	1	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	#417	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#442	1	2	yes	—
281	C₂³	#449	1	2	yes	—
282	C₂³	#459	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	#476	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	Q₈	—	4	4	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	16	4	no	—
306	C₂×C₄	—	16	2	no	—
307	C₂×C₄	—	16	2	no	—
308	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#452	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#461	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#474	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
330	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#381	1	1	yes	characteristic
333	C₈	#385	1	2	yes	—
334	C₈	#386	1	2	yes	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	#1762	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#1788	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#1802	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#1864	1	2	yes	—
352	C₂²	#1879	1	2	yes	—
353	C₂²	#2212	1	2	yes	—
354	C₂²	#2213	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2214	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	16	4	no	—
359	C₄	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₄×#102	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#1786	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#1804	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#1862	1	2	yes	—
364	C₄	#1877	1	2	yes	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	2	1	no	—
368	C₂	—	8	4	no	—
369	C₂	#10788	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#12820	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#12821	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#13028	1	2	yes	—
373	C₂	#13029	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#459
commutator	C₂×C₈	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1387	C₂	semidirect
4. C₂×#1376	C₂	semidirect
5. #10862	C₂	semidirect
12. C₂×#443	C₄	semidirect
18. #2139	C₄	semidirect
224. Q₁₆	#95	semidirect
230. D₈	#95	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
C₂×#2139	2
C₂×#1387	2
C₂×#1376	2
#10862	2