Subgroups — #14702

Order 256.

1367 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 234 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1436	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊#95	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
13	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
20	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
23	#391	—	2	8	no	—
24	#380	—	2	4	no	—
25	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
30	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
34	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
37	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
39	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
43	C₂³×C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
44	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
71	#95	—	2	4	no	—
72	#95	—	2	16	no	—
73	#95	—	2	16	no	—
74	C₂⁴	—	2	2	no	—
75	C₂⁴	—	2	2	no	—
76	C₂⁴	—	2	4	no	—
77	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
81	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
82	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
84	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
85	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
86	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
87	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
129	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₄²	—	2	16	no	—
135	C₄²	—	2	16	no	—
136	C₂³	—	2	4	no	—
137	C₂³	—	2	4	no	—
138	C₂³	—	2	2	no	—
139	C₂³	—	2	4	no	—
140	C₂³	—	2	8	no	—
141	C₂³	—	2	2	no	—
142	C₂³	—	2	4	no	—
143	C₂³	—	2	8	no	—
144	C₂³	—	2	8	no	—
145	C₂³	—	2	4	no	—
146	C₂³	—	2	8	no	—
147	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂³	C₄×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
150	C₂³	#124	1	4	yes	—
151	C₂³	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
152	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
160	Q₈	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄	—	2	64	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄	—	2	32	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
190	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	#121	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
193	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
194	C₂²	—	2	8	no	—
195	C₂²	—	2	8	no	—
196	C₂²	—	2	8	no	—
197	C₂²	—	2	8	no	—
198	C₂²	—	2	4	no	—
199	C₂²	—	2	4	no	—
200	C₂²	—	2	16	no	—
201	C₂²	#391	1	8	yes	complemented
202	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
206	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
208	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
210	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
211	C₂²	#525	1	4	yes	—
212	C₂²	#525	1	2	yes	—
213	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
214	C₂²	#529	1	4	yes	—
215	C₂²	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	#532	1	2	yes	—
217	C₂²	#533	1	4	yes	—
218	C₄	—	2	16	no	—
219	C₄	—	2	4	no	—
220	C₄	—	4	4	no	—
221	C₄	—	4	4	no	—
222	C₄	—	8	4	no	—
223	C₄	#386	1	8	yes	—
224	C₂	—	2	8	no	—
225	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
226	C₂	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
227	C₂	#2297	1	1	yes	characteristic
228	C₂	C₄×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂	#2848	1	2	yes	—
230	C₂	#2850	1	2	yes	—
231	C₂	#2855	1	2	yes	—
232	C₂	#2857	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#391	C₂	semidirect
5. #1436	C₂	semidirect
6. C₄⋊#95	C₂	semidirect
13. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
33. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
43. C₂³×C₄	Q₈	semidirect
58. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
192. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect
201. C₂²	#391	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂³×C₄²	2
C₂×#391	2
C₂×#380	2
#1436	2
C₄⋊#95	2
C₂²⋊#95	2