Subgroups — #147111

Order 512.

700 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 295 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1374	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1374	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
15	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1374	—	2	4	no	—
20	#1374	—	2	2	no	—
21	#1374	C₄	1	8	yes	complemented
22	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₁₆	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂×#95	C₈	1	2	yes	—
62	C₄×C₁₆	—	2	8	no	—
63	#336	—	2	2	no	—
64	#336	—	2	2	no	—
65	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
85	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₁₆	1	8	yes	complemented
96	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
110	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×C₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
124	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
125	C₄×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄×C₈	—	2	4	no	—
127	C₄×C₈	—	2	2	no	—
128	C₄×C₈	—	2	4	no	—
129	C₄×C₈	—	2	2	no	—
130	C₄×C₈	—	4	1	no	—
131	C₄×C₈	—	4	2	no	—
132	C₄×C₈	—	4	1	no	—
133	#95	—	2	4	no	—
134	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂×C₈	—	4	1	no	—
173	C₂×C₈	—	4	1	no	—
174	C₂×C₈	—	4	1	no	—
175	C₂×C₈	—	4	1	no	—
176	C₂×C₈	—	4	2	no	—
177	C₂×C₈	—	4	2	no	—
178	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
188	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
189	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
190	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	4	1	no	—
204	C₄²	—	4	1	no	—
205	C₄²	—	4	2	no	—
206	C₁₆	—	2	8	no	—
207	C₁₆	—	4	4	no	—
208	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
211	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
212	C₂³	C₈×Q₈	1	2	yes	—
213	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
215	C₂³	#504	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	C₄×C₁₆	1	4	yes	complemented
234	C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	1	8	yes	—
235	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	#431	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
253	C₈	—	2	4	no	—
254	C₈	—	4	2	no	—
255	C₈	—	4	2	no	—
256	C₈	#385	1	2	yes	—
257	C₈	#387	1	2	yes	—
258	C₈	#388	1	2	yes	—
259	C₈	#389	1	2	yes	—
260	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂²	#1869	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	#1916	1	2	yes	—
264	C₂²	#1984	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂×C₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	C₄×M₃₂	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	#2108	1	2	yes	—
268	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	2	yes	—
269	C₂²	#2113	1	2	yes	—
270	C₂²	#2162	1	2	yes	—
271	C₂²	#2164	1	2	yes	—
272	C₂²	D₄×C₁₆	1	4	yes	—
273	C₂²	#2168	1	4	yes	—
274	C₂²	Q₈×C₁₆	1	4	yes	—
275	C₂²	#2183	1	4	yes	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	8	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	4	4	no	—
280	C₄	#1436	1	1	yes	characteristic
281	C₄	#1750	1	1	yes	characteristic
282	C₄	#1771	1	2	yes	—
283	C₄	#1869	1	1	yes	characteristic
284	C₄	#1916	1	2	yes	—
285	C₄	#1984	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#10874	1	1	yes	characteristic
287	C₂	C₄×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#12600	1	1	yes	characteristic
289	C₂	C₁₆×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂	#12663	1	2	yes	—
291	C₂	#12976	1	2	yes	—
292	C₂	#13104	1	4	yes	—
293	C₂	#13263	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
commutator	C₂²	C₂×C₄×C₁₆
socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
21. #1374	C₄	semidirect
95. C₂×C₄⋊C₄	C₁₆	semidirect
123. C₂×C₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
233. C₂×C₄	C₄×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₁₆	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×#1374	2