Subgroups — #147351

Order 512.

756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#350	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2297	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#350	—	2	4	no	—
14	C₂×#350	—	2	4	no	—
15	C₂×#350	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₄×M₃₂	—	2	4	no	—
17	C₂×#346	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
19	#1753	—	2	1	no	—
20	#1753	—	2	1	no	—
21	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
22	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
23	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#1728	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#1379	—	2	4	no	—
26	#1374	—	2	1	no	—
27	#1374	—	2	1	no	—
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#131	—	2	2	no	—
30	C₂×#131	—	2	2	no	—
31	C₂×#131	—	2	2	no	—
32	C₂×#131	—	2	2	no	—
33	C₂×#131	—	2	2	no	—
34	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
44	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
45	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
46	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#408	—	2	2	no	—
58	#408	C₈	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
61	#405	—	2	2	no	—
62	#405	—	2	2	no	—
63	C₂×#97	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	#391	C₈	1	2	yes	—
72	#390	C₈	1	2	yes	—
73	#386	—	2	2	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	#350	—	2	16	no	—
77	#346	—	2	4	no	—
78	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
79	#336	—	2	1	no	—
80	#336	—	2	1	no	—
81	#336	—	2	1	no	—
82	#336	—	2	1	no	—
83	C₂×#41	—	2	1	no	—
84	C₂×#41	—	2	1	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	C₄²	1	2	yes	—
90	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
93	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₄	M₁₆	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#131	—	2	4	no	—
98	#131	—	2	4	no	—
99	#131	—	2	4	no	—
100	#131	—	2	4	no	—
101	#131	—	4	2	no	—
102	#131	—	4	2	no	—
103	#131	—	4	2	no	—
104	#131	—	4	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
115	C₂×M₁₆	C₄²	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	M₃₂	—	2	4	no	—
150	M₃₂	—	2	4	no	—
151	M₃₂	—	2	4	no	—
152	M₃₂	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
153	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
165	#97	—	4	1	no	—
166	#97	—	4	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	4	2	no	—
174	#95	—	2	2	no	—
175	#95	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	1	no	—
177	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	4	2	no	—
183	#41	—	4	2	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	C₄×C₈	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	1	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	4	2	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	—	4	1	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₁₆	—	2	8	no	—
271	C₁₆	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	1	no	—
278	C₂³	—	4	1	no	—
279	C₂³	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#435	1	2	yes	—
283	C₂³	#436	1	2	yes	—
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	D₄	—	2	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	#350	1	4	yes	complemented
307	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#431	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	4	2	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	#386	1	2	yes	—
330	C₈	#388	1	2	yes	—
331	C₈	#388	1	2	yes	—
332	C₈	#390	1	2	yes	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#1753	1	2	yes	—
346	C₂²	#1869	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#1923	1	2	yes	—
348	C₂²	#1954	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#350	1	2	yes	—
350	C₂²	#2117	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	#1437	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#1750	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
358	C₄	#1869	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#1923	1	2	yes	—
360	C₄	#1954	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	8	2	no	—
364	C₂	#10921	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₄×#350	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#12604	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#12978	1	2	yes	—
368	C₂	#13193	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
4. C₂×#1379	C₂	semidirect
5. C₂×#1374	C₂	semidirect
15. C₂×#350	C₄	semidirect
152. M₃₂	C₂²⋊C₄	semidirect
306. C₂×C₄	#350	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#350	2
C₂×C₄×M₃₂	2
#20383	2
C₂×#1379	2
C₂×#1374	2