Subgroups — #148052

Order 512.

800 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2139	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#107	—	2	1	no	—
10	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	—	2	1	no	—
12	C₂×#408	—	2	1	no	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#384	—	2	1	no	—
15	#2139	—	2	4	no	—
16	#2139	—	2	4	no	—
17	C₂×#358	—	2	2	no	—
18	C₂×#357	—	2	2	no	—
19	#1974	—	2	2	no	—
20	#1974	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1845	—	2	4	no	—
22	#1387	—	2	4	no	—
23	#1376	—	2	2	no	—
24	C₂²×#41	—	2	1	no	—
25	C₂×#135	—	2	1	no	—
26	C₂×#135	—	2	2	no	—
27	C₂×#135	—	2	2	no	—
28	C₂×#135	—	2	1	no	—
29	C₂×#135	—	2	2	no	—
30	C₂×#135	—	2	2	no	—
31	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂×#135	Q₈	1	2	yes	—
33	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
35	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
41	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
43	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
44	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
45	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
46	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
47	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×#108	—	2	2	no	—
50	C₂×#108	—	2	2	no	—
51	C₂×#108	—	2	1	no	—
52	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#107	—	2	2	no	—
54	C₂×#107	—	2	2	no	—
55	C₂×#107	—	2	2	no	—
56	C₂×#107	—	2	2	no	—
57	C₂×#107	—	2	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	—	4	2	no	—
60	C₂×#107	—	4	2	no	—
61	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×#104	—	2	4	no	—
63	C₂×#104	—	4	2	no	—
64	C₂×#104	—	4	2	no	—
65	#408	—	2	4	no	—
66	#408	—	4	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#384	—	4	2	no	—
74	#358	—	2	8	no	—
75	#357	—	2	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	—	4	1	no	—
79	C₂×#41	—	4	1	no	—
80	C₂×#41	—	4	1	no	—
81	C₂×#41	—	4	1	no	—
82	C₂×#41	—	4	1	no	—
83	C₂×#41	—	4	1	no	—
84	C₂×#41	—	4	1	no	—
85	C₂×#41	—	4	1	no	—
86	C₂×#41	—	4	1	no	—
87	C₂×#41	—	4	1	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
90	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	#135	—	2	4	no	—
96	#135	—	2	4	no	—
97	#135	—	2	4	no	—
98	#135	—	2	4	no	—
99	#135	—	4	2	no	—
100	#135	—	4	2	no	—
101	#135	—	4	2	no	—
102	#135	—	4	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	complemented
107	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	1	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	complemented
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	D₈	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
153	M₃₂	—	2	4	no	—
154	M₃₂	—	2	4	no	—
155	M₃₂	—	4	2	no	—
156	M₃₂	—	4	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
160	#108	—	2	4	no	—
161	#108	—	4	2	no	—
162	#107	—	2	4	no	—
163	#107	—	2	4	no	—
164	#107	—	4	8	no	—
165	#107	—	4	2	no	—
166	#107	—	4	2	no	—
167	#104	—	4	8	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
169	C₄×C₈	—	2	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	1	no	—
172	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	4	2	no	—
174	#41	—	4	2	no	—
175	#41	—	4	2	no	—
176	#41	—	4	2	no	—
177	#41	—	4	2	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	8	1	no	—
182	#41	—	8	1	no	—
183	#41	—	8	1	no	—
184	#41	—	8	1	no	—
185	#41	—	8	1	no	—
186	#41	—	8	1	no	—
187	#41	—	8	1	no	—
188	#41	—	8	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	4	1	no	—
200	C₂×D₄	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	8	1	no	—
204	C₂×D₄	—	8	1	no	—
205	C₂×D₄	—	8	1	no	—
206	C₂×D₄	—	8	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	2	4	no	—
238	Q₁₆	—	4	2	no	—
239	SD₁₆	—	4	4	no	—
240	SD₁₆	—	4	4	no	—
241	D₈	—	2	4	no	—
242	D₈	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	8	1	no	—
246	M₁₆	—	8	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	8	1	no	—
255	C₂×C₈	—	8	1	no	—
256	C₂×C₈	#102	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	#102	1	4	yes	—
282	C₁₆	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	8	1	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	1	no	—
290	C₂³	#417	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#447	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#459	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	#476	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	#481	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	#489	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	#496	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	4	2	no	—
298	Q₈	—	4	2	no	—
299	Q₈	—	8	1	no	—
300	Q₈	—	8	1	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	8	1	no	—
308	D₄	—	8	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	1	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	16	4	no	—
324	C₂×C₄	—	16	4	no	—
325	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#397	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#447	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#448	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#448	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#459	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#461	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#461	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#474	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#474	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#476	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#480	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#480	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#481	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#486	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#486	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#489	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#497	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	8	2	no	—
355	C₈	#385	1	2	yes	—
356	C₈	#388	1	2	yes	—
357	C₈	#394	1	2	yes	—
358	C₈	#396	1	2	yes	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	16	1	no	—
370	C₂²	—	16	1	no	—
371	C₂²	—	16	2	no	—
372	C₂²	#1802	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#1874	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#1959	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2011	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2023	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2071	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2094	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2213	1	2	yes	—
380	C₂²	#2214	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	8	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	16	4	no	—
384	C₄	#1439	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#1802	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#1874	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#1957	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2013	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2023	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2071	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2093	1	1	yes	characteristic
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	16	2	no	—
397	C₂	#11049	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#12821	1	2	yes	—
399	C₂	#13331	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#13333	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#13484	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#459
commutator	C₂²×C₈	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1845	C₂	semidirect
4. C₂×#1387	C₂	semidirect
5. C₂×#1376	C₂	semidirect
20. #1974	C₄	semidirect
106. C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
114. C₂×D₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2139	2
C₂×#1974	2
C₂×#1845	2
C₂×#1387	2
C₂×#1376	2