Subgroups — #148663

Order 512.

652 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1374	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1374	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
15	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1374	—	2	4	no	—
20	#1374	—	2	2	no	—
21	#1374	—	2	4	no	—
22	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₁₆	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×#95	C₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#95	C₈	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
67	#336	—	2	2	no	—
68	#336	—	2	2	no	—
69	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₁₆	1	4	yes	complemented
107	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
121	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	2	no	—
138	C₄×C₈	—	2	2	no	—
139	C₄×C₈	—	2	4	no	—
140	C₄×C₈	—	2	2	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	4	1	no	—
144	C₄×C₈	—	4	2	no	—
145	C₄×C₈	—	4	1	no	—
146	#95	—	2	2	no	—
147	#95	—	2	2	no	—
148	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	M₃₂	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	M₃₂	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	M₃₂	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	1	no	—
199	C₂×C₈	—	4	1	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	—	4	1	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	4	1	no	—
234	C₄²	—	4	1	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₁₆	—	4	4	no	—
237	C₁₆	—	4	4	no	—
238	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
242	C₂³	C₈×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂²×C₁₆	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂×M₃₂	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#504	1	2	yes	—
248	C₂³	#504	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₄⋊C₁₆	1	4	yes	complemented
281	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#423	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#432	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
299	C₈	—	4	2	no	—
300	C₈	—	4	2	no	—
301	C₈	—	4	2	no	—
302	C₈	#394	1	1	yes	characteristic
303	C₈	#395	1	1	yes	characteristic
304	C₈	#396	1	2	yes	—
305	C₈	#398	1	1	yes	characteristic
306	C₈	#398	1	2	yes	—
307	C₈	#400	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1797	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#1869	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#1916	1	2	yes	—
311	C₂²	#1939	1	2	yes	—
312	C₂²	#1984	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#2112	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#2113	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#2113	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×C₄⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2150	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2151	1	2	yes	—
320	C₂²	#2162	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2163	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2164	1	2	yes	—
323	C₂²	D₄×C₁₆	1	2	yes	—
324	C₂²	#2168	1	2	yes	—
325	C₂²	#2168	1	2	yes	—
326	C₂²	#2169	1	2	yes	—
327	C₂²	Q₈×C₁₆	1	2	yes	—
328	C₂²	#2183	1	2	yes	—
329	C₂²	#2183	1	2	yes	—
330	C₂²	#2183	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	#1441	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#1798	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#1870	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#1917	1	2	yes	—
341	C₄	#1940	1	2	yes	—
342	C₄	#1985	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#11202	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#12783	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#12784	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#12976	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#12977	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#13104	1	2	yes	—
349	C₂	#13105	1	2	yes	—
350	C₂	#13159	1	2	yes	—
351	C₂	#13160	1	2	yes	—
352	C₂	#13263	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#13264	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₈	C₂³
commutator	C₂³	C₂²×C₁₆
socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
106. C₂×C₄⋊C₄	C₁₆	semidirect
280. C₂×C₄	C₄⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₁₆	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×#1374	2