Subgroups — #15130

Order 256.

1295 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#394	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#121	—	2	4	no	—
14	C₂×#121	—	2	4	no	—
15	C₂×#121	—	2	4	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#394	—	2	16	no	—
28	#390	—	2	4	no	—
29	#390	—	2	4	no	—
30	#384	—	2	4	no	—
31	#380	—	2	4	no	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
33	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
49	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#121	—	2	32	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	complemented
97	#95	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	4	no	—
99	#95	—	2	8	no	—
100	C₂⁴	—	2	1	no	—
101	C₂⁴	—	2	1	no	—
102	C₂⁴	—	2	1	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	—	2	1	no	—
106	C₂⁴	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	4	no	—
111	C₂⁴	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×D₄	—	4	16	no	—
128	C₂×D₄	—	4	16	no	—
129	C₂×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
194	C₄²	—	2	8	no	—
195	C₄²	—	4	4	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	8	no	—
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	4	1	no	—
214	C₂³	—	4	1	no	—
215	C₂³	—	4	1	no	—
216	C₂³	—	4	1	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	4	2	no	—
221	C₂³	—	4	2	no	—
222	C₂³	—	4	2	no	—
223	C₂³	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	4	2	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	—	4	4	no	—
230	C₂³	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	4	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	—	4	4	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	#127	1	4	yes	—
242	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
253	D₄	—	4	32	no	—
254	D₄	—	4	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#121	1	8	yes	complemented
296	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	8	2	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#532	1	2	yes	—
331	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#537	1	2	yes	—
335	C₂²	#542	1	2	yes	—
336	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
337	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂²	#547	1	2	yes	—
339	C₂²	#547	1	2	yes	—
340	C₂²	#547	1	2	yes	—
341	C₂²	#548	1	2	yes	—
342	C₂²	#553	1	2	yes	—
343	C₂²	#555	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	8	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	#394	1	8	yes	complemented
351	C₂	—	4	4	no	—
352	C₂	—	8	4	no	—
353	C₂	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#2416	1	2	yes	—
355	C₂	#2422	1	2	yes	—
356	C₂	#2432	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#2433	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#2491	1	2	yes	—
359	C₂	#2500	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#2501	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#2537	1	2	yes	—
362	C₂	#2620	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#2856	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#394	C₂	semidirect
3. C₂×#390	C₂	semidirect
4. C₂×#390	C₂	semidirect
5. C₂×#384	C₂	semidirect
6. C₂×#380	C₂	semidirect
7. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
8. #1439	C₂	semidirect
9. C₄⋊#95	C₂	semidirect
90. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
96. C₂×C₄²	D₄	semidirect
295. C₂×C₄	#121	semidirect
350. C₄	#394	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
C₂×#394	2
C₂×#390	2
C₂×#384	2
C₂×#380	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1439	2
C₄⋊#95	2