Group #15178 — subgroups

Subgroups — #15178

Order 256.

1223 conjugacy classes of subgroups; only the 267 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1223 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 267 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1444	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1439	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
13	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
14	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
15	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#391	—	2	8	no	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
24	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
29	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
30	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
31	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×Q₈	D₄	1	8	yes	—
35	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
47	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
66	#95	—	2	4	no	—
67	#95	—	2	16	no	—
68	#95	—	2	8	no	—
69	C₂⁴	—	2	2	no	—
70	C₂⁴	—	2	2	no	—
71	C₂⁴	—	2	1	no	—
72	C₂⁴	—	2	2	no	—
73	C₂⁴	—	2	1	no	—
74	C₂⁴	—	2	4	no	—
75	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
77	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
79	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
80	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
81	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
82	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
83	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
84	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
121	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
123	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
124	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
125	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
126	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₄²	—	2	8	no	—
128	C₄²	—	4	4	no	—
129	C₂³	—	2	4	no	—
130	C₂³	—	2	2	no	—
131	C₂³	—	2	4	no	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	—	2	4	no	—
134	C₂³	—	2	4	no	—
135	C₂³	—	2	8	no	—
136	C₂³	—	2	8	no	—
137	C₂³	—	4	1	no	—
138	C₂³	—	4	2	no	—
139	C₂³	—	4	1	no	—
140	C₂³	—	4	2	no	—
141	C₂³	—	4	2	no	—
142	C₂³	—	4	4	no	—
143	C₂³	—	4	4	no	—
144	C₂³	C₄⋊Q₈	1	4	yes	complemented
145	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
152	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
153	Q₈	—	4	32	no	—
154	C₂×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄	—	4	16	no	—
181	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	#120	1	8	yes	—
183	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
184	C₂×C₄	#121	1	8	yes	—
185	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	complemented
186	C₂×C₄	#127	1	4	yes	—
187	C₂²	—	2	4	no	—
188	C₂²	—	2	8	no	—
189	C₂²	—	4	2	no	—
190	C₂²	—	4	2	no	—
191	C₂²	—	4	4	no	—
192	C₂²	—	4	8	no	—
193	C₂²	—	4	4	no	—
194	C₂²	—	4	4	no	—
195	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
196	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
197	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
199	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
201	C₂²	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	#533	1	2	yes	—
204	C₂²	#536	1	2	yes	—
205	C₂²	#536	1	2	yes	—
206	C₂²	#541	1	2	yes	—
207	C₂²	#547	1	4	yes	—
208	C₂²	#548	1	4	yes	—
209	C₂²	D₄×Q₈	1	4	yes	—
210	C₂²	D₄×Q₈	1	4	yes	—
211	C₄	—	2	8	no	—
212	C₄	—	4	2	no	—
213	C₄	—	4	8	no	—
214	C₄	—	4	8	no	—
215	C₄	—	4	4	no	—
216	C₄	#392	1	8	yes	—
217	C₂	—	4	4	no	—
218	C₂	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#2409	1	2	yes	—
220	C₂	#2429	1	4	yes	—
221	C₂	#2432	1	2	yes	—
222	C₂	#2434	1	2	yes	—
223	C₂	#2542	1	2	yes	—
224	C₂	#2621	1	1	yes	characteristic
225	C₂	#2857	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂²×C₄⋊Q₈

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₂²×C₂²⋊Q₈

C₂

yes

maximal

C₂×#391

C₂

yes

maximal, complemented

C₂×C₄×C₂²⋊C₄

C₂

yes

maximal, characteristic

#1444

C₂

yes

maximal, complemented

#1439

C₂

yes

maximal

C₄⋊#95

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₂³×Q₈

C₂²

yes

—

C₂⁴×C₄

C₂²

yes

characteristic

C₂×C₄⋊Q₈

—

C₂×C₄⋊Q₈

—

C₂×C₂²⋊Q₈

—

C₂×C₂²⋊Q₈

—

C₂×C₂²⋊Q₈

—

C₂²×C₄⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂²×C₄⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂²×C₄⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂²×C₄²

C₂²

yes

characteristic

C₂²×C₄²

C₂²

yes

characteristic

#391

—

C₄×C₂²⋊C₄

—

C₂×#95

C₂²

yes

—

C₂×#95

C₂²

yes

—

C₂×#95

C₂²

yes

—

C₂⁵

C₂³

yes

characteristic

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

D₄

yes

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₄⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

D₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

Q₈

yes

complemented

C₂×C₄²

—

C₂×C₄²

—

C₂×C₄²

—

C₂×C₄²

D₄

yes

—

#95

—

#95

—

#95

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

C₂×D₄

yes

—

C₂⁴

C₂×Q₈

yes

—

C₂⁴

yes

characteristic

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

100

C₂²×C₄

—

101

C₂²×C₄

—

102

C₂²×C₄

—

103

C₂²×C₄

—

104

C₂²×C₄

—

105

C₂²×C₄

—

106

C₂²×C₄

—

107

C₂²×C₄

—

108

C₂²×C₄

—

109

C₂²×C₄

—

110

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

111

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

112

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

113

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

114

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

115

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

116

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

117

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

118

C₂²×C₄

C₂×Q₈

yes

—

119

C₂²×C₄

C₂×Q₈

yes

—

120

C₂²×C₄

#41

yes

—

121

C₂²×C₄

#41

yes

—

122

C₄⋊C₄

—

123

C₄⋊C₄

—

124

C₄⋊C₄

—

125

C₂²⋊C₄

—

126

C₂²⋊C₄

—

127

C₄²

—

128

C₄²

—

129

C₂³

—

130

C₂³

—

131

C₂³

—

132

C₂³

—

133

C₂³

—

134

C₂³

—

135

C₂³

—

136

C₂³

—

137

C₂³

—

138

C₂³

—

139

C₂³

—

140

C₂³

—

141

C₂³

—

142

C₂³

—

143

C₂³

—

144

C₂³

C₄⋊Q₈

yes

complemented

145

C₂³

C₂²×D₄

yes

characteristic

146

C₂³

C₂²×D₄

yes

—

147

C₂³

C₂²×D₄

yes

characteristic

148

C₂³

C₂²×D₄

yes

—

149

C₂³

C₂²×Q₈

yes

—

150

C₂³

C₂×#41

yes

characteristic

151

C₂³

C₂×#41

yes

—

152

C₂³

2₋¹⁺⁴

yes

—

153

Q₈

—

154

C₂×C₄

—

155

C₂×C₄

—

156

C₂×C₄

—

157

C₂×C₄

—

158

C₂×C₄

—

159

C₂×C₄

—

160

C₂×C₄

—

161

C₂×C₄

—

162

C₂×C₄

—

163

C₂×C₄

—

164

C₂×C₄

—

165

C₂×C₄

—

166

C₂×C₄

—

167

C₂×C₄

—

168

C₂×C₄

—

169

C₂×C₄

—

170

C₂×C₄

—

171

C₂×C₄

—

172

C₂×C₄

—

173

C₂×C₄

—

174

C₂×C₄

—

175

C₂×C₄

—

176

C₂×C₄

—

177

C₂×C₄

—

178

C₂×C₄

—

179

C₂×C₄

—

180

C₂×C₄

—

181

C₂×C₄

#120

yes

—

182

C₂×C₄

#120

yes

—

183

C₂×C₄

#121

yes

—

184

C₂×C₄

#121

yes

—

185

C₂×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

complemented

186

C₂×C₄

#127

yes

—

187

C₂²

—

188

C₂²

—

189

C₂²

—

190

C₂²

—

191

C₂²

—

192

C₂²

—

193

C₂²

—

194

C₂²

—

195

C₂²

C₂×#120

yes

characteristic

196

C₂²

C₂×#120

yes

—

197

C₂²

C₂×#121

yes

characteristic

198

C₂²

C₂×#121

yes

—

199

C₂²

C₂×C₂²⋊Q₈

yes

—

200

C₂²

C₂×#127

yes

characteristic

201

C₂²

C₂×C₄⋊Q₈

yes

characteristic

202

C₂²

#532

yes

characteristic

203

C₂²

#533

yes

—

204

C₂²

#536

yes

—

205

C₂²

#536

yes

—

206

C₂²

#541

yes

—

207

C₂²

#547

yes

—

208

C₂²

#548

yes

—

209

C₂²

D₄×Q₈

yes

—

210

C₂²

D₄×Q₈

yes

—

211

C₄

—

212

C₄

—

213

C₄

—

214

C₄

—

215

C₄

—

216

C₄

#392

yes

—

217

C₂

—

218

C₂

C₂×#392

yes

characteristic

219

C₂

#2409

yes

—

220

C₂

#2429

yes

—

221

C₂

#2432

yes

—

222

C₂

#2434

yes

—

223

C₂

#2542

yes

—

224

C₂

#2621

yes

characteristic

225

C₂

#2857

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, commutator, Frattini, socle, cosocle

C₂⁴

prime radical

C₂⁵

C₂³

LCS

G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G

LECS

G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#391	C₂	semidirect
5. #1444	C₂	semidirect
7. C₄⋊#95	C₂	semidirect
61. C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	semidirect
144. C₂³	C₄⋊Q₈	semidirect
185. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

H ≅ G/N

type

1. C₂²×C₄⋊Q₈

C₂

semidirect

3. C₂×#391

C₂

semidirect

5. #1444

C₂

semidirect

7. C₄⋊#95

C₂

semidirect

61. C₂×C₂²⋊C₄

Q₈

semidirect

144. C₂³

C₄⋊Q₈

semidirect

185. C₂×C₄

C₂²⋊Q₈

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#391	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1444	2
#1439	2
C₄⋊#95	2

subgroup

index

C₂²×C₄⋊Q₈

C₂²×C₂²⋊Q₈

C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Subgroups — #15178

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups