Subgroups — #15215

Order 256.

1439 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1438	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#124	—	2	4	no	—
15	C₂×#124	—	2	4	no	—
16	C₂×#124	—	2	4	no	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
20	C₂×#121	—	2	4	no	—
21	C₂×#121	—	2	4	no	—
22	C₂×#121	—	2	4	no	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#391	—	2	4	no	—
34	#390	—	2	4	no	—
35	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
48	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
59	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
66	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#124	—	2	32	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
76	#121	—	2	32	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	complemented
107	#95	—	2	4	no	—
108	#95	—	2	8	no	—
109	#95	—	4	4	no	—
110	C₂⁴	—	2	1	no	—
111	C₂⁴	—	2	1	no	—
112	C₂⁴	—	2	1	no	—
113	C₂⁴	—	2	1	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	2	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	C₂⁴	—	2	4	no	—
125	C₂⁴	—	2	2	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
137	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
138	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	16	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	4	16	no	—
145	C₂×D₄	—	4	16	no	—
146	C₂×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂×D₄	—	4	8	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
204	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
212	C₄²	—	2	8	no	—
213	C₄²	—	4	4	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	4	1	no	—
232	C₂³	—	4	1	no	—
233	C₂³	—	4	1	no	—
234	C₂³	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	4	2	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	#124	1	4	yes	complemented
260	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
271	Q₈	—	4	16	no	—
272	D₄	—	4	32	no	—
273	D₄	—	4	16	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#127	1	4	yes	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#525	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#529	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#535	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#537	1	2	yes	—
356	C₂²	#542	1	2	yes	—
357	C₂²	#546	1	2	yes	—
358	C₂²	#546	1	2	yes	—
359	C₂²	#546	1	2	yes	—
360	C₂²	#547	1	2	yes	—
361	C₂²	#548	1	2	yes	—
362	C₂²	#548	1	2	yes	—
363	C₂²	#548	1	2	yes	—
364	C₂²	#550	1	2	yes	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	#392	1	8	yes	—
372	C₂	—	4	4	no	—
373	C₂	—	8	4	no	—
374	C₂	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#2407	1	2	yes	—
376	C₂	#2426	1	2	yes	—
377	C₂	#2427	1	2	yes	—
378	C₂	#2431	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#2432	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#2435	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#2436	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#2540	1	2	yes	—
383	C₂	#2620	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#2850	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#124	C₂	semidirect
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
4. C₂×#391	C₂	semidirect
5. C₂×#390	C₂	semidirect
6. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #1439	C₂	semidirect
8. #1438	C₂	semidirect
9. C₄⋊#95	C₂	semidirect
47. C₂²×Q₈	D₄	semidirect
85. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
106. C₂×C₄²	D₄	semidirect
259. C₂³	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂²×#121	2
C₂×#391	2
C₂×#390	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
#1439	2
#1438	2
C₄⋊#95	2