Subgroups — #15951

Order 256.

1231 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1446	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
14	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
15	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#386	—	2	8	no	—
26	#385	—	2	8	no	—
27	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
40	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
41	C₂²×Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
42	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
45	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
46	C₂²×D₄	Q₈	1	4	yes	complemented
47	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
53	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
89	#95	—	2	4	no	—
90	#95	—	2	4	no	—
91	#95	—	2	4	no	—
92	#95	—	2	4	no	—
93	#95	—	2	2	no	—
94	#95	—	4	1	no	—
95	#95	—	4	2	no	—
96	#95	—	4	1	no	—
97	#95	—	4	1	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	—	2	2	no	—
102	C₂⁴	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	2	2	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
115	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
116	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
117	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
118	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₄	—	2	16	no	—
120	C₂×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂×D₄	—	4	8	no	—
123	C₂×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	4	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	2	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	4	2	no	—
221	C₂³	—	4	2	no	—
222	C₂³	—	4	2	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	complemented
225	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
236	Q₈	—	4	16	no	—
237	D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	32	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	#120	1	8	yes	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	8	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	4	no	—
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
305	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
306	C₂²	#525	1	2	yes	—
307	C₂²	#534	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#536	1	2	yes	—
309	C₂²	#537	1	2	yes	—
310	C₂²	#539	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#539	1	2	yes	—
312	C₂²	#543	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
315	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#546	1	2	yes	—
317	C₂²	#547	1	2	yes	—
318	C₂²	#548	1	2	yes	—
319	C₂²	#548	1	2	yes	—
320	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
322	C₂²	#550	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#551	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#554	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#562	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#563	1	1	yes	characteristic
327	C₄	—	2	8	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	8	2	no	—
335	C₂	—	4	8	no	—
336	C₂	#2403	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#2407	1	2	yes	—
338	C₂	#2409	1	2	yes	—
339	C₂	#2437	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#2449	1	2	yes	—
341	C₂	#2463	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#2680	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#2681	1	2	yes	—
344	C₂	#2683	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#2728	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#2732	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#385	C₂	semidirect
4. #1446	C₂	semidirect
5. #1444	C₂	semidirect
6. #1441	C₂	semidirect
7. #1439	C₂	semidirect
8. #1439	C₂	semidirect
41. C₂²×Q₈	D₄	semidirect
46. C₂²×D₄	Q₈	semidirect
73. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
224. C₂³	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#386	2
C₂×#385	2
#1446	2
#1444	2
#1441	2
#1439	2
#1438	2