Subgroups — C₂×#7688 #161416

Order 512.

1570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7688	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#1271	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
12	#2857	—	2	2	no	—
13	#2857	—	2	2	no	—
14	#2857	C₄	1	4	yes	—
15	#2857	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#391	—	2	1	no	—
17	C₂×#389	—	2	1	no	—
18	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#380	—	2	1	no	—
21	C₂×#380	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
23	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
24	#1728	—	2	2	no	—
25	#1728	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	—	2	1	no	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#1271	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
66	#391	—	2	4	no	—
67	#391	—	2	4	no	—
68	#389	—	2	4	no	—
69	#389	—	2	2	no	—
70	#389	—	2	2	no	—
71	#389	—	2	4	no	—
72	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#389	C₂³	1	4	yes	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#380	—	2	4	no	—
77	#380	—	2	4	no	—
78	#380	—	2	4	no	—
79	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	C₂³	1	4	yes	—
86	#336	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
168	C₄×C₈	—	4	8	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	#95	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	#103	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	#99	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#101	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#103	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#104	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#104	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	4	32	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	16	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	16	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	#408	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#99	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#101	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#103	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
291	C₂³	#418	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#104	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#104	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	8	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	#328	1	16	yes	—
334	C₂×C₄	#408	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#99	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₈	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	#1472	1	4	yes	—
357	C₂²	#1484	1	4	yes	—
358	C₂²	#1493	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×#328	1	4	yes	—
360	C₂²	#1507	1	4	yes	—
361	C₂²	#1526	1	4	yes	—
362	C₂²	#1549	1	4	yes	—
363	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	8	4	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	C₂×#328	1	8	yes	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	#7688	1	8	yes	direct product factor
384	C₂	C₂×#1472	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#1484	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#1493	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂²×#328	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#1507	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#1526	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#1549	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7688	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#1271	C₂	semidirect
29. #1271	C₂²	semidirect
383. C₂	#7688	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2857	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
C₂×#1728	2
#7688	2
C₂×#1271	2

Subgroups — C2×#7688 #161416

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#7688 #161416