Subgroups — #165079

Order 512.

1318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#7704	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#7659	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7651	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#7626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#7592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7569	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#547	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#546	—	2	2	no	—
11	C₂×D₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
12	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2856	C₂²	1	2	yes	—
14	#2542	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2541	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#2540	—	2	2	no	—
17	#2539	—	2	4	no	—
18	#2501	C₄	1	2	yes	—
19	#2433	C₄	1	2	yes	—
20	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1954	—	2	2	no	—
24	#1924	—	2	4	no	—
25	#1831	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1817	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1770	—	2	2	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#1749	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1270	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1270	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1270	C₂²	1	2	yes	—
33	#1270	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1270	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1270	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1270	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂²×#41	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	#547	—	4	4	no	—
41	#546	—	4	8	no	—
42	#546	—	4	8	no	—
43	D₄²	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#124	—	2	2	no	—
49	C₂×#123	—	2	4	no	—
50	C₂×#123	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×#121	—	2	4	no	—
54	C₂×#121	—	2	1	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#120	—	2	4	no	—
59	C₂×#120	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	#399	—	2	4	no	—
75	#399	—	2	2	no	—
76	#392	—	2	4	no	—
77	#392	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	—	2	4	no	—
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#390	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#390	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#390	C₂³	1	2	yes	—
88	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
94	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	C₂³	1	2	yes	—
98	#336	C₂³	1	4	yes	—
99	#336	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂⁵	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	4	8	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	4	1	no	—
132	#127	—	4	2	no	—
133	#127	—	8	2	no	—
134	#124	—	4	4	no	—
135	#124	—	4	4	no	—
136	#123	—	4	16	no	—
137	#123	—	4	8	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
140	#121	—	4	4	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	8	no	—
145	#121	—	4	8	no	—
146	#120	—	4	8	no	—
147	#120	—	4	16	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	2	no	—
152	C₄×D₄	—	4	2	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
191	#97	—	8	4	no	—
192	C₄×C₈	—	4	4	no	—
193	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂⁴	—	2	1	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	—	2	1	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	8	2	no	—
202	C₂⁴	—	8	4	no	—
203	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	#41	—	8	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	1	no	—
210	C₂×D₄	—	2	1	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	1	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	8	2	no	—
232	C₂×D₄	—	8	2	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	8	no	—
237	C₂×D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	16	no	—
239	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	#131	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
306	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	1	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	1	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	8	8	no	—
327	C₂³	—	8	8	no	—
328	C₂³	—	8	16	no	—
329	C₂³	—	16	4	no	—
330	C₂³	—	16	8	no	—
331	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
332	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	8	4	no	—
334	D₄	—	2	8	no	—
335	D₄	—	4	2	no	—
336	D₄	—	4	2	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	1	no	—
339	D₄	—	8	1	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	2	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	8	no	—
344	D₄	—	8	8	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	D₄	—	16	2	no	—
347	D₄	—	16	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₈	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	8	1	no	—
393	C₂²	—	8	1	no	—
394	C₂²	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	1	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	1	no	—
399	C₂²	—	8	1	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	16	16	no	—
406	C₂²	#2880	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2883	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
410	C₂²	#2901	1	2	yes	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	1	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	8	1	no	—
420	C₄	—	8	1	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	#1555	1	4	yes	—
423	C₂	—	4	4	no	—
424	C₂	—	8	2	no	—
425	C₂	—	16	1	no	—
426	C₂	—	16	2	no	—
427	C₂	#17421	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#17511	1	2	yes	—
429	C₂	#17626	1	2	yes	—
430	C₂	#17685	1	1	yes	characteristic
431	C₂	C₂×#1555	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36260	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22839	C₂	semidirect
3. #7704	C₂	semidirect
4. #7659	C₂	semidirect
5. #7651	C₂	semidirect
6. #7626	C₂	semidirect
7. #7592	C₂	semidirect
8. #7569	C₂	semidirect
25. #1831	C₂²	semidirect
26. #1817	C₂²	semidirect
28. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
29. #1749	C₂²	semidirect
33. #1270	C₂²	semidirect
34. #1270	C₂²	semidirect
35. #1270	C₂²	semidirect
36. #1270	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36260	2
#22839	2
#7704	2
#7659	2
#7651	2
#7626	2
#7592	2
#7569	2