Subgroups — #17334

Order 256.

403 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 138 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2920	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#1455	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1453	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#432	C₄	1	4	yes	—
10	#432	C₄	1	4	yes	—
11	#431	C₂²	1	4	yes	—
12	#431	C₂²	1	4	yes	—
13	#423	C₄	1	4	yes	—
14	#407	C₄	1	4	yes	—
15	C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#97	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#322	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#322	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₈²	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
29	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
54	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴	C₄²	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
58	C₂²×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	M₁₆	—	2	8	no	—
71	M₁₆	—	2	8	no	—
72	M₁₆	—	4	8	no	—
73	C₂×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
75	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
77	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
79	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
80	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
81	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂³	—	2	2	no	—
89	C₂³	—	4	2	no	—
90	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
91	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
92	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
107	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
108	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
109	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
111	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
113	C₈	—	2	4	no	—
114	C₈	—	2	16	no	—
115	C₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
116	C₂²	—	2	2	no	—
117	C₂²	—	2	1	no	—
118	C₂²	—	2	1	no	—
119	C₂²	—	2	2	no	—
120	C₂²	—	2	2	no	—
121	C₂²	—	4	4	no	—
122	C₂²	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
123	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
124	C₄	—	2	1	no	—
125	C₄	—	2	1	no	—
126	C₄	—	2	2	no	—
127	C₄	—	2	2	no	—
128	C₄	—	2	2	no	—
129	C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
130	C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
131	C₄	#568	1	4	yes	—
132	C₂	—	2	2	no	—
133	C₂	—	4	1	no	—
134	C₂	—	4	1	no	—
135	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
136	C₂	#2873	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂²	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1455	C₂	semidirect
4. #1453	C₂	semidirect
5. #1452	C₂	semidirect
6. #1450	C₂	semidirect
23. #322	C₂²	semidirect
24. #322	C₂²	semidirect
25. C₈²	C₂²	semidirect
74. C₂×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2920	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1455	2
#1453	2
#1452	2
#1450	2