Subgroups — #17349

Order 256.

657 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 242 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1461	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₄×#41	—	2	2	no	—
9	C₄×#41	—	2	2	no	—
10	C₄×#41	—	2	2	no	—
11	C₄×#41	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#431	—	2	2	no	—
23	#431	—	2	2	no	—
24	#431	C₂²	1	4	yes	—
25	#431	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
29	#324	C₂²	1	8	yes	—
30	#323	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#41	—	2	2	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	4	no	—
34	C₂×#41	C₈	1	8	yes	complemented
35	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
45	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	#117	—	2	2	no	—
58	#117	—	2	2	no	—
59	#117	—	2	4	no	—
60	#117	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#41	—	2	16	no	—
92	#41	—	2	16	no	—
93	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
96	C₂×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
101	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
119	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂×C₈	—	4	8	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄²	—	2	2	no	—
141	C₄²	—	2	2	no	—
142	C₄²	—	2	2	no	—
143	C₄²	—	2	2	no	—
144	C₄²	—	2	2	no	—
145	C₄²	—	2	2	no	—
146	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	4	1	no	—
159	C₂³	—	4	1	no	—
160	C₂³	—	4	2	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
164	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
165	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
166	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
167	Q₈	—	2	8	no	—
168	D₄	—	2	16	no	—
169	D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
206	C₈	—	4	8	no	—
207	C₂²	—	2	1	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	2	1	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	—	2	4	no	—
212	C₂²	—	4	2	no	—
213	C₂²	—	4	2	no	—
214	C₂²	—	4	4	no	—
215	C₂²	—	4	4	no	—
216	C₂²	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	4	2	no	—
218	C₂²	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
219	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
222	C₄	—	2	4	no	—
223	C₄	—	2	2	no	—
224	C₄	—	2	1	no	—
225	C₄	—	2	1	no	—
226	C₄	—	2	2	no	—
227	C₄	—	4	2	no	—
228	C₄	—	4	2	no	—
229	C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
230	C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
231	C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
232	C₄	#410	1	2	yes	—
233	C₄	#413	1	2	yes	—
234	C₂	—	2	1	no	—
235	C₂	—	2	1	no	—
236	C₂	—	2	4	no	—
237	C₂	—	4	4	no	—
238	C₂	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
240	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#431	C₂	semidirect
3. #1461	C₂	semidirect
4. #1460	C₂	semidirect
5. #1459	C₂	semidirect
6. #1458	C₂	semidirect
34. C₂×#41	C₈	semidirect
95. C₂×Q₈	C₂×C₈	semidirect
101. C₂×D₄	C₂×C₈	semidirect
118. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂×#431	2
#1461	2
#1460	2
#1459	2
#1458	2