Subgroups — #17357

Order 256.

661 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 255 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1464	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1462	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#117	—	2	2	no	—
9	C₂×#117	—	2	2	no	—
10	C₂×#117	—	2	2	no	—
11	C₂×#117	—	2	2	no	—
12	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#432	—	2	2	no	—
23	#432	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#431	—	2	2	no	—
25	#431	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#423	—	2	2	no	—
27	#407	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
29	#324	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#323	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
35	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
36	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
46	#117	—	2	4	no	—
47	#117	—	2	4	no	—
48	#117	—	2	4	no	—
49	#117	—	2	4	no	—
50	#117	—	2	4	no	—
51	#117	—	2	4	no	—
52	#117	—	2	4	no	—
53	#117	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
88	#97	—	2	4	no	—
89	C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂⁴	—	2	1	no	—
91	C₂⁴	—	2	1	no	—
92	C₂⁴	—	2	4	no	—
93	C₂⁴	—	4	2	no	—
94	C₂⁴	—	4	2	no	—
95	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	M₁₆	—	4	8	no	—
139	C₂×C₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄²	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	2	2	no	—
151	C₄²	—	2	2	no	—
152	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	4	no	—
164	C₂³	—	2	4	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	4	2	no	—
169	C₂³	—	4	16	no	—
170	C₂³	—	4	2	no	—
171	C₂³	—	4	2	no	—
172	C₂³	—	4	2	no	—
173	C₂³	—	4	2	no	—
174	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
177	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₈	—	4	8	no	—
218	C₂²	—	2	8	no	—
219	C₂²	—	2	1	no	—
220	C₂²	—	2	1	no	—
221	C₂²	—	2	1	no	—
222	C₂²	—	2	1	no	—
223	C₂²	—	2	1	no	—
224	C₂²	—	2	1	no	—
225	C₂²	—	2	4	no	—
226	C₂²	—	4	4	no	—
227	C₂²	—	4	4	no	—
228	C₂²	—	4	8	no	—
229	C₂²	—	4	8	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	#410	1	2	yes	—
233	C₂²	#413	1	2	yes	—
234	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₄	—	2	1	no	—
237	C₄	—	2	1	no	—
238	C₄	—	2	4	no	—
239	C₄	—	2	2	no	—
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	2	2	no	—
243	C₄	—	4	2	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	#407	1	2	yes	—
246	C₄	#407	1	2	yes	—
247	C₂	—	2	2	no	—
248	C₂	—	2	2	no	—
249	C₂	—	2	2	no	—
250	C₂	—	4	4	no	—
251	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
252	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
253	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2920	C₂	semidirect
3. #1464	C₂	semidirect
4. #1463	C₂	semidirect
6. #1458	C₂	semidirect
23. #432	C₂²	semidirect
25. #431	C₂²	semidirect
29. #324	C₂²	semidirect
126. C₂²×C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#117	2
#2920	2
#1464	2
#1463	2
#1462	2
#1458	2