Subgroups — #17362

Order 256.

869 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1465	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1462	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#407	—	2	2	no	—
24	#407	—	2	2	no	—
25	#407	C₂²	1	4	yes	—
26	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#324	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#323	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
43	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	C₄×D₄	—	2	4	no	—
67	C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₄×D₄	—	2	4	no	—
69	C₄×D₄	—	2	4	no	—
70	C₄×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂⁴	—	2	1	no	—
94	C₂⁴	—	2	1	no	—
95	C₂⁴	—	2	4	no	—
96	C₂⁴	—	2	4	no	—
97	C₂⁴	—	4	2	no	—
98	C₂⁴	—	4	2	no	—
99	C₂⁴	—	4	2	no	—
100	C₂⁴	—	4	2	no	—
101	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂×D₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	M₁₆	—	4	8	no	—
166	M₁₆	—	4	8	no	—
167	C₂×C₈	—	2	8	no	—
168	C₂×C₈	—	4	8	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₄²	—	2	2	no	—
176	C₄²	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	2	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	4	2	no	—
192	C₂³	—	4	1	no	—
193	C₂³	—	4	1	no	—
194	C₂³	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	4	1	no	—
196	C₂³	—	4	1	no	—
197	C₂³	—	4	2	no	—
198	C₂³	—	4	2	no	—
199	C₂³	—	4	2	no	—
200	C₂³	—	4	16	no	—
201	C₂³	—	4	16	no	—
202	C₂³	—	4	2	no	—
203	C₂³	—	4	2	no	—
204	C₂³	—	4	2	no	—
205	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
210	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
211	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	D₄	—	2	16	no	—
213	D₄	—	2	16	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	#99	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₈	—	4	8	no	—
256	C₂²	—	2	8	no	—
257	C₂²	—	2	1	no	—
258	C₂²	—	2	1	no	—
259	C₂²	—	2	1	no	—
260	C₂²	—	2	1	no	—
261	C₂²	—	2	2	no	—
262	C₂²	—	2	1	no	—
263	C₂²	—	2	1	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	8	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	4	8	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	#407	1	4	yes	—
280	C₂²	C₂×#99	1	2	yes	—
281	C₂²	#413	1	2	yes	—
282	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	1	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	C₂×#99	1	2	yes	—
292	C₄	C₂×#99	1	2	yes	—
293	C₂	—	2	2	no	—
294	C₂	—	2	2	no	—
295	C₂	—	2	2	no	—
296	C₂	—	2	4	no	—
297	C₂	—	4	2	no	—
298	C₂	—	4	4	no	—
299	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
300	C₂	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#407	C₂	semidirect
3. #1465	C₂	semidirect
4. #1463	C₂	semidirect
5. #1462	C₂	semidirect
6. #1459	C₂	semidirect
26. #407	C₂²	semidirect
28. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
29. #324	C₂²	semidirect
30. #323	C₂²	semidirect
114. C₂×D₄	M₁₆	semidirect
210. C₂³	C₂×M₁₆	semidirect
253. C₂×C₄	C₂×M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#407	2
#1465	2
#1463	2
#1462	2
#1459	2